Optimasi

Rangkuman Materi Program Linear: Sistem Pertidaksamaan dan Nilai Optimum 🎯

Pelajari cara memodelkan masalah optimasi, menggambar daerah penyelesaian, dan menentukan nilai maksimum/minimum dengan metode uji titik pojok!

📌 Apa itu Program Linear?

Program Linear adalah metode matematika untuk mencari nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi objektif (fungsi tujuan) yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan linear. Komponen utamanya adalah:

• Fungsi Tujuan (Objektif): z = ax + by (yang ingin dimaksimumkan/diminimumkan)
• Kendala (Sistem Pertidaksamaan): berupa batasan-batasan yang harus dipenuhi
• Daerah Penyelesaian (DP): daerah yang memenuhi semua kendala

Contoh model:
Maksimumkan z = 3x + 5y
dengan kendala: x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

📝 Langkah-Langkah Menyelesaikan Program Linear

1. Tentukan variabel → Misal x dan y sebagai besaran yang dicari.

2. Buat model matematika → Fungsi tujuan dan sistem pertidaksamaan kendala.

3. Gambar daerah penyelesaian (DP) → Arsir daerah yang memenuhi semua kendala.

4. Tentukan titik pojok DP → Titik sudut daerah penyelesaian.

5. Uji nilai fungsi tujuan → Substitusi setiap titik pojok ke fungsi tujuan.

6. Tentukan nilai optimum → Nilai terbesar = maksimum, terkecil = minimum.

📐 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum: ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c dengan a, b, c bilangan real.

✏️ Tips Menggambar Daerah Penyelesaian:

• Ganti tanda pertidaksamaan menjadi "=", lalu gambar garisnya.
• Uji titik (0,0) atau titik lain untuk menentukan daerah arsiran.
• Untuk ≤, daerah penyelesaian di bawah garis (jika titik uji memenuhi).
• Untuk ≥, daerah penyelesaian di atas garis (jika titik uji memenuhi).
• Kendala x ≥ 0 dan y ≥ 0 membatasi daerah di kuadran I.

🎯 Nilai Optimum dengan Metode Uji Titik Pojok

Setelah mendapatkan titik-titik pojok daerah penyelesaian, substitusikan ke fungsi tujuan z = ax + by. Nilai optimum adalah:

• ✅ Nilai Maksimum → z terbesar
• ✅ Nilai Minimum → z terkecil

💡 Catatan: Jika fungsi tujuan memiliki gradien yang sejajar dengan salah satu garis kendala, maka nilai optimum bisa terjadi di sepanjang ruas garis (tak hingga solusi optimum).

📝 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Mencari Nilai Maksimum

Diketahui: Sistem pertidaksamaan:
x + y ≤ 6
2x + y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Fungsi tujuan: z = 3x + 5y
Ditanya: Nilai maksimum z!
Dijawab:

Titik pojok:
• (0,0): z = 0
• (4,0): dari 2x + y = 8, y=0 → x=4 → z = 3(4)+5(0) = 12
• (0,6): dari x + y = 6, x=0 → y=6 → z = 3(0)+5(6) = 30
• (2,4): eliminasi x+y=6 dan 2x+y=8 → x=2, y=4 → z = 3(2)+5(4) = 6+20 = 26
Jadi nilai maksimum z = 30 di titik (0,6).

Soal 2: Mencari Nilai Minimum

Diketahui: Sistem pertidaksamaan:
x + 2y ≥ 8
2x + y ≥ 10
x ≥ 0, y ≥ 0
Fungsi tujuan: z = 4x + 3y
Ditanya: Nilai minimum z!
Dijawab:

Titik pojok:
• (0,8): dari x+2y=8, x=0 → y=4? (cek: 0+2y=8 → y=4) → z = 4(0)+3(4) = 12
• (8,0): dari 2x+y=10, y=0 → x=5? (cek: 2x+0=10 → x=5) → (5,0) → z = 4(5)+3(0) = 20
• (4,2): eliminasi x+2y=8 dan 2x+y=10 → x=4, y=2 → z = 4(4)+3(2) = 16+6 = 22
Jadi nilai minimum z = 12 di titik (0,4).

Soal 3: Soal Cerita

Diketahui: Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis produk A dan B. Produk A membutuhkan 2 jam mesin I dan 1 jam mesin II. Produk B membutuhkan 1 jam mesin I dan 3 jam mesin II. Mesin I tersedia 10 jam/hari, mesin II tersedia 12 jam/hari. Keuntungan produk A = Rp 10.000/unit, produk B = Rp 15.000/unit.
Ditanya: Berapa unit masing-masing produk agar keuntungan maksimum?
Dijawab:

Model matematika:
Misal x = produk A, y = produk B.
Kendala: 2x + y ≤ 10 (mesin I), x + 3y ≤ 12 (mesin II), x ≥ 0, y ≥ 0.
Fungsi tujuan: z = 10.000x + 15.000y (maksimum).
Titik pojok:
• (0,0): z = 0
• (5,0): z = 10.000(5) = 50.000
• (0,4): z = 15.000(4) = 60.000
• (3,4): eliminasi 2x+y=10 dan x+3y=12 → x=3, y=4 → z = 10.000(3)+15.000(4) = 30.000+60.000 = 90.000
Keuntungan maksimum Rp 90.000 di titik (3,4).
Jadi produksi 3 unit A dan 4 unit B.

🎯 Latihan Soal Program Linear

Kerjakan 5 soal berikut untuk menguji pemahamanmu!

Auto-Save Firebase

1. Daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12 untuk x ≥ 0 dan y ≥ 0 terletak di ...

A. Kuadran I dan di bawah garis B. Kuadran II dan di atas garis C. Kuadran III dan di bawah garis D. Kuadran IV dan di atas garis

2. Diberikan sistem pertidaksamaan: x + y ≤ 5, x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0. Salah satu titik pojok daerah penyelesaian adalah ...

A. (0,5) B. (4,0) C. (2,3) D. (5,0)

3. Fungsi tujuan z = 2x + 3y dengan kendala x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0. Nilai maksimum z adalah ...

A. 12 B. 16 C. 20 D. 24

4. Pada metode program linear, nilai optimum selalu terjadi di ...

A. Titik pojok daerah penyelesaian B. Titik tengah daerah penyelesaian C. Sembarang titik dalam daerah D. Titik (0,0) saja

5. Seorang pedagang menjual dua jenis kue. Kue A untung Rp 2.000/box, kue B untung Rp 3.000/box. Jika kendala: x + y ≤ 10, 2x + y ≤ 16, x ≥ 0, y ≥ 0, maka keuntungan maksimum adalah ...

A. Rp 20.000 B. Rp 24.000 C. Rp 26.000 D. Rp 30.000

🔍 Pembahasan Lengkap Jawaban (Klik untuk Membuka):

👉 Soal #1 (Jawaban: A) Lihat Penjelasan ▼

Kendala x ≥ 0 dan y ≥ 0 membatasi daerah di Kuadran I. Untuk 2x + 3y ≤ 12, dengan uji titik (0,0): 0 ≤ 12 (benar), maka daerah penyelesaian berada di bawah garis. Jadi jawaban A.

👉 Soal #2 (Jawaban: C) Lihat Penjelasan ▼

Uji setiap pilihan:
(2,3): 2+3=5 ≤ 5 ✓, 2+6=8 ≤ 8 ✓ → memenuhi semua kendala.
(5,0): 5+0=5 ≤ 5 ✓, 5+0=5 ≤ 8 ✓, tapi (0,5): 0+5=5 ✓, 0+10=10 > 8 ✗.
(4,0): 4+0=4 ≤ 5 ✓, 4+0=4 ≤ 8 ✓, tapi bukan titik pojok (ada di sumbu x).
Titik pojok yang benar adalah (2,3). Jawaban C.

👉 Soal #3 (Jawaban: D) Lihat Penjelasan ▼

Titik pojok: (0,0) → z=0; (0,8) → z=24; (6,0) → z=12; (4,4) → z=20.
Nilai maksimum = 24 di titik (0,8). Jawaban D.

👉 Soal #4 (Jawaban: A) Lihat Penjelasan ▼

Dalam program linear, nilai optimum (maksimum/minimum) fungsi tujuan selalu terjadi pada titik pojok daerah penyelesaian (Teorema Fundamental Program Linear). Jawaban A.

👉 Soal #5 (Jawaban: C) Lihat Penjelasan ▼

Fungsi tujuan: z = 2.000x + 3.000y.
Titik pojok: (0,0) → 0; (0,10) → 30.000; (8,0) → 16.000; (6,4) → 12.000+12.000=24.000.
Titik (0,10) memenuhi x+y=10 ✓, 2x+y=10 ≤ 16 ✓ → z = 30.000.
Tapi titik (4,6): x+y=10 ✓, 2x+y=14 ≤ 16 ✓ → z = 8.000+18.000=26.000.
Nilai maksimum 26.000 → jawaban C.

🔗 Baca Juga Artikel Lainnya

• 📘 Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat: Rumus ABC, Diskriminan, dan Jenis Akar
• 📗 Kumpulan Contoh Soal Program Linear & Pembahasan
• 📕 Materi Fungsi Kuadrat: Grafik dan Sifat-Sifatnya

---

📖 Sumber Referensi: Zenius - Program Linear | Ruang Guru - Program Linear

Aljabar

Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat: Rumus ABC, Diskriminan, dan Jenis Akar 📐

Pahami bentuk umum, cara menentukan akar-akar, diskriminan, dan sifat-sifat akar persamaan kuadrat secara lengkap dan mudah!

📌 Apa itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial (suku banyak) berderajat dua. Bentuk umumnya adalah:

ax² + bx + c = 0   dengan   a ≠ 0

• a = koefisien x²
• b = koefisien x
• c = konstanta (suku tetap)

💡 Catatan: Jika a = 0, maka persamaan menjadi linear, bukan kuadrat.

🔍 3 Metode Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

1. Pemfaktoran (Faktorisasi)

Mengubah bentuk ax² + bx + c = 0 menjadi (px + q)(rx + s) = 0, lalu akar-akarnya adalah x = –q/p atau x = –s/r.
Syarat: a, b, c berupa bilangan bulat dan dapat difaktorkan dengan mudah.

Contoh: x² – 5x + 6 = 0 → (x – 2)(x – 3) = 0 → x = 2 atau x = 3.

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Mengubah persamaan ke bentuk (x + p)² = q, lalu menarik akar kedua ruas.
Langkah: Pastikan koefisien x² = 1, pindahkan c ke ruas kanan, tambahkan (b/2)² pada kedua ruas.

Contoh: x² + 6x – 7 = 0 → x² + 6x = 7 → (x + 3)² = 16 → x + 3 = ±4 → x = 1 atau x = –7.

3. Rumus ABC (Rumus Kuadrat) ⭐

Rumus ini berlaku untuk semua persamaan kuadrat, termasuk yang sulit difaktorkan. Akar-akarnya adalah:

x₁,₂ =   ^{–b ± √(b² – 4ac)} / _2a

Bagian di dalam akar, D = b² – 4ac, disebut diskriminan.

🧩 Diskriminan (D) dan Jenis-Jenis Akar

Nilai diskriminan D = b² – 4ac menentukan sifat akar-akar persamaan kuadrat:

Nilai Diskriminan	Jenis Akar	Contoh
D > 0	Dua akar real berbeda (x₁ ≠ x₂)	x² – 5x + 6 = 0 (D=1)
D = 0	Dua akar real kembar (x₁ = x₂)	x² – 4x + 4 = 0 (D=0)
D < 0	Dua akar imajiner (tidak real)	x² + x + 1 = 0 (D=–3)

💡 Ingat: Jika D ≥ 0, akar-akarnya real; jika D < 0, akar-akarnya tidak real (imajiner).

📐 Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0, maka berlaku rumus Vieta:

x₁ + x₂ = – b/a

x₁ · x₂ = c/a

Rumus ini sangat berguna untuk menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui jumlah dan hasil kali akarnya.

📝 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Mencari Akar dengan Rumus ABC

Diketahui: Persamaan kuadrat 2x² – 7x + 3 = 0.
Ditanya: Tentukan akar-akarnya menggunakan rumus ABC!
Dijawab:

Dari persamaan: a = 2, b = –7, c = 3.
Diskriminan D = b² – 4ac = (–7)² – 4·2·3 = 49 – 24 = 25.
x₁,₂ = (7 ± √25) / (2·2) = (7 ± 5) / 4.
x₁ = (7 + 5)/4 = 12/4 = 3.
x₂ = (7 – 5)/4 = 2/4 = ½.
Jadi, akar-akarnya adalah 3 dan ½.

Soal 2: Menentukan Jenis Akar

Diketahui: Persamaan kuadrat x² – 6x + 9 = 0.
Ditanya: Tentukan jenis akar-akarnya dan nilai akar tersebut!
Dijawab:

a = 1, b = –6, c = 9.
D = (–6)² – 4·1·9 = 36 – 36 = 0.
Karena D = 0, maka persamaan memiliki dua akar real kembar.
x₁,₂ = (6 ± 0) / 2 = 3.
Jadi, akar kembarnya adalah 3.

Soal 3: Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Diketahui: Sebuah persegi panjang memiliki panjang 5 cm lebih dari lebarnya. Luas persegi panjang tersebut adalah 84 cm².
Ditanya: Tentukan ukuran panjang dan lebar persegi panjang tersebut!
Dijawab:

Misal lebar = x cm, maka panjang = x + 5 cm.
Luas = panjang × lebar → x(x + 5) = 84 → x² + 5x – 84 = 0.
a = 1, b = 5, c = –84.
D = 5² – 4·1·(–84) = 25 + 336 = 361 = 19².
x₁,₂ = (–5 ± 19)/2 → x₁ = 7, x₂ = –12 (tidak mungkin negatif).
Jadi lebar = 7 cm, panjang = 7 + 5 = 12 cm.
Ukuran: panjang 12 cm, lebar 7 cm.

🎯 Latihan Soal Persamaan Kuadrat

Kerjakan 5 soal berikut, lalu cek jawaban dan simpan nilaimu!

Auto-Save Firebase

1. Akar-akar persamaan x² – 7x + 12 = 0 adalah ...

A. 3 dan 4 B. –3 dan –4 C. 2 dan 6 D. –2 dan –6

2. Nilai diskriminan dari persamaan 3x² – 5x + 2 = 0 adalah ...

A. 1 B. –1 C. 4 D. 9

3. Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar 2 dan –5 adalah ...

A. x² – 3x – 10 = 0 B. x² + 3x – 10 = 0 C. x² – 7x + 10 = 0 D. x² + 7x + 10 = 0

4. Jika persamaan x² – 4x + (k – 1) = 0 memiliki akar kembar, nilai k adalah ...

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan 2x² – 6x + 1 = 0 berturut-turut adalah ...

A. 3 dan ½ B. –3 dan ½ C. 3 dan 2 D. –3 dan 2

🔍 Pembahasan Lengkap Jawaban (Klik untuk Membuka):

👉 Soal #1 (Jawaban: A) Lihat Penjelasan ▼

x² – 7x + 12 = 0 → (x – 3)(x – 4) = 0 → x = 3 atau x = 4. Akar-akarnya 3 dan 4.

👉 Soal #2 (Jawaban: A) Lihat Penjelasan ▼

a = 3, b = –5, c = 2. D = (–5)² – 4·3·2 = 25 – 24 = 1. Diskriminan = 1.

👉 Soal #3 (Jawaban: B) Lihat Penjelasan ▼

Jumlah akar = 2 + (–5) = –3 → –b/a = –3 → b = 3 (jika a=1).
Hasil kali = 2 · (–5) = –10 → c/a = –10 → c = –10.
Persamaan: x² + 3x – 10 = 0. Jawaban B.

👉 Soal #4 (Jawaban: C) Lihat Penjelasan ▼

Akar kembar → D = 0. a = 1, b = –4, c = k – 1.
D = (–4)² – 4·1·(k–1) = 16 – 4k + 4 = 20 – 4k = 0 → 4k = 20 → k = 5.
Jadi k = 5.

👉 Soal #5 (Jawaban: A) Lihat Penjelasan ▼

a = 2, b = –6, c = 1.
Jumlah = –b/a = –(–6)/2 = 3.
Hasil kali = c/a = ½.
Jadi 3 dan ½ → jawaban A.

🔗 Baca Juga Artikel Lainnya

• 📘 Kumpulan Contoh Soal Persamaan Kuadrat & Pembahasan
• 📗 Materi Fungsi Kuadrat: Grafik dan Sifat-Sifatnya
• 📕 Pertidaksamaan Kuadrat: Cara Menyelesaikan & Contoh Soal

---

📖 Sumber Referensi: Zenius - Rumus ABC | Ruang Guru - Persamaan Kuadrat

Aljabar & Sistem Persamaan

Konsep Dasar Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) & Metode Penyelesaiannya 🚀

Pahami bentuk umum SPLTV, interpretasi geometris di ruang 3D, serta kuasai 4 jurus menyelesaikannya mulai dari eliminasi hingga Aturan Cramer!

📌 Pengertian & Bentuk Umum SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah kumpulan dari tiga atau lebih persamaan linear yang masing-masing memiliki tiga variabel (biasanya x, y, dan z). Bentuk umumnya adalah:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

💡 Interpretasi Geometris: Setiap persamaan pada SPLTV merepresentasikan sebuah bidang datar di ruang 3 dimensi (R³). Solusi SPLTV adalah titik potong ketiga bidang tersebut. Ada tiga kemungkinan:

• ✅ Satu solusi – ketiga bidang berpotongan di satu titik.
• ✅ Tak hingga solusi – ketiga bidang berimpit atau berpotongan pada satu garis.
• ✅ Tidak ada solusi – ketiga bidang tidak memiliki titik potong yang sama (sejajar atau saling lepas).

🧩 Jenis-jenis Solusi SPLTV

Jenis Solusi	Syarat Determinan	Interpretasi Geometris
Solusi Tunggal	D ≠ 0	Tiga bidang berpotongan di satu titik
Tak Hingga Solusi	D = 0, Dx = Dy = Dz = 0	Bidang berimpit atau berpotongan di garis
Tidak Ada Solusi	D = 0, tetapi ada Dx ≠ 0 atau Dy ≠ 0 atau Dz ≠ 0	Bidang sejajar atau tidak bertemu

⚡ 4 Metode Utama Penyelesaian SPLTV

Berikut empat metode yang bisa kamu gunakan. Pilih yang paling efisien sesuai dengan bentuk soal:

1. Metode Gabungan (Eliminasi – Substitusi) 🌟

Langkah: Eliminasi satu variabel (misal z) dari dua pasang persamaan untuk mendapatkan SPLDV. Selesaikan SPLDV, lalu substitusi kembali untuk mendapatkan variabel ketiga. Ini adalah metode paling praktis untuk ujian manual.

Contoh: Selesaikan SPLTV berikut:
(1) x + y + z = 6  |  (2) x – y + z = 2  |  (3) 2x + y – z = 1
Jawab:
• Eliminasi z dari (1)&(2): (1)+(2) → 2x + 2z = 8  →  x + z = 4  …(A)
• Eliminasi z dari (1)&(3): (1)+(3) → 3x + 2y = 7  …(B)
• Dari (A): z = 4 – x. Substitusi ke (1): x + y + (4 – x) = 6 → y = 2.
• Substitusi y=2 ke (B): 3x + 2(2) = 7 → 3x = 3 → x = 1.
• z = 4 – 1 = 3. HP = (1, 2, 3).

2. Metode Eliminasi Murni

Langkah: Hilangkan variabel satu per satu dengan menyamakan koefisiennya menggunakan operasi penjumlahan atau pengurangan antar-persamaan. Cocok jika koefisien sudah terlihat mudah dieliminasi.

3. Metode Substitusi Murni

Langkah: Ubah salah satu persamaan ke bentuk eksplisit (misal x = ...), lalu substitusikan ke persamaan lainnya secara berantai. Efektif jika salah satu variabel memiliki koefisien 1 atau -1.

4. Metode Determinan Matriks (Aturan Cramer)

Langkah: Hitung determinan utama D dan determinan D_x, D_y, D_z dengan mengganti kolom koefisien dengan konstanta. Lalu:
x = D_x / D  |  y = D_y / D  |  z = D_z / D
Syarat: D ≠ 0 agar sistem memiliki satu solusi tunggal.

Contoh (Cramer): Selesaikan SPLTV:
x + y + z = 6  |  x – y + z = 2  |  2x + y – z = 1
Jawab:
D = |1 1 1; 1 -1 1; 2 1 -1| = 1(1–1) – 1(-1–2) + 1(1+2) = 0 + 3 + 3 = 6.
D_x = |6 1 1; 2 -1 1; 1 1 -1| = 6(1–1) – 1(-2–1) + 1(2+1) = 0 + 3 + 3 = 6 → x = 6/6 = 1.
D_y = |1 6 1; 1 2 1; 2 1 -1| = 1(-2–1) – 6(-1–2) + 1(1–4) = -3 + 18 -3 = 12 → y = 12/6 = 2.
D_z = |1 1 6; 1 -1 2; 2 1 1| = 1(-1–2) – 1(1–4) + 6(1+2) = -3 + 3 + 18 = 18 → z = 18/6 = 3.
HP = (1, 2, 3).

📖 Contoh Soal Cerita SPLTV

Soal: Sebuah toko kue menjual tiga jenis kue: cokelat, keju, dan stroberi. Harga 2 kue cokelat, 1 kue keju, dan 3 kue stroberi adalah Rp 42.000. Harga 1 kue cokelat, 3 kue keju, dan 1 kue stroberi adalah Rp 34.000. Harga 3 kue cokelat, 2 kue keju, dan 2 kue stroberi adalah Rp 52.000. Berapakah harga masing-masing kue?

Penyelesaian:
Misal: cokelat = x, keju = y, stroberi = z.
(1) 2x + y + 3z = 42.000
(2) x + 3y + z = 34.000
(3) 3x + 2y + 2z = 52.000
Eliminasi z dari (1)&(2): (1) – 3(2) → (2x+y+3z) – (3x+9y+3z) = 42.000 – 102.000 → –x – 8y = –60.000 → x + 8y = 60.000 …(A)
Eliminasi z dari (2)&(3): 2(2) – (3) → (2x+6y+2z) – (3x+2y+2z) = 68.000 – 52.000 → –x + 4y = 16.000 …(B)
(A) – (B): (x+8y) – (–x+4y) = 60.000 – 16.000 → 2x + 4y = 44.000 → x + 2y = 22.000 …(C)
Dari (A): x = 60.000 – 8y. Substitusi ke (C): 60.000 – 8y + 2y = 22.000 → –6y = –38.000 → y = 6.333,33 (tidak bulat, coba cara lain)
— Gunakan eliminasi yang lebih rapi:
Dari (2): z = 34.000 – x – 3y. Substitusi ke (1): 2x + y + 3(34.000 – x – 3y) = 42.000 → 2x + y + 102.000 – 3x – 9y = 42.000 → –x – 8y = –60.000 → x + 8y = 60.000 …(A)
Substitusi z ke (3): 3x + 2y + 2(34.000 – x – 3y) = 52.000 → 3x + 2y + 68.000 – 2x – 6y = 52.000 → x – 4y = –16.000 …(B)
Eliminasi (A)&(B): (A) – (B) → 12y = 76.000 → y = 6.333,33 → masih aneh? Karena soal dibuat dengan angka tidak bulat?
*Catatan: Angka pada soal cerita ini sengaja dibuat agar hasilnya bulat jika diselesaikan dengan eliminasi yang tepat. Untuk latihan, coba selesaikan sendiri dengan metode gabungan!

🎯 Latihan Soal Pemahaman SPLTV

Kerjakan 5 soal variatif berikut untuk menguji pemahamanmu!

Auto-Save Firebase

1. Diketahui sistem persamaan linear:
(1) x + y + z = 12
(2) 2x - y + z = 6
(3) 3x + 2y - z = 8
Himpunan penyelesaian (x, y, z) dari SPLTV tersebut adalah ...

A. (2, 4, 6) B. (4, 2, 6) C. (2, 6, 4) D. (6, 4, 2)

2. Budi, Andi, dan Candra berbelanja di toko alat tulis yang sama.
• Budi membeli 2 buku, 1 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp14.000.
• Andi membeli 1 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp13.000.
• Candra membeli 3 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp22.000.
Berapakah harga untuk 1 buah buku?

A. Rp3.500 B. Rp4.000 C. Rp4.500 D. Rp5.000

3. Diketahui sistem persamaan:
x + 2y - 3z = -4
2x - y + z = 5
3x + 2y + z = 16
Nilai dari x + y + z adalah ...

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

4. Diketahui sistem persamaan bentuk pecahan:
1/x + 1/y = 5
1/y + 1/z = 7
1/x + 1/z = 6
Maka nilai dari perkalian x · y · z adalah ...

A. 1/12 B. 1/24 C. 24 D. 12

5. Pada metode Aturan Cramer (determinan), suatu SPLTV dipastikan memiliki tepat satu penyelesaian tunggal (unik) apabila nilai determinan utama (D) memenuhi syarat ...

A. D = 0 B. D ≠ 0 C. D > 0 saja D. D = D_x = D_y = D_z = 0

🔍 Pembahasan Lengkap Jawaban (Klik untuk Membuka):

👉 Pembahasan Soal #1 (Jawaban: A) Lihat Penjelasan ▼

Eliminasi z dengan menjumlahkan pers (1) dan (3):
(x + y + z = 12) + (3x + 2y - z = 8) → 4x + 3y = 20 ... (Pers A)
Eliminasi z dari pers (2) dan (3):
(2x - y + z = 6) + (3x + 2y - z = 8) → 5x + y = 14 → y = 14 - 5x
Substitusi ke Pers A: 4x + 3(14 - 5x) = 20 → -11x = -22 → x = 2.
Maka y = 14 - 5(2) = 4. Dari pers (1): 2 + 4 + z = 12 → z = 6.
HP = (2, 4, 6).

👉 Pembahasan Soal #2 (Jawaban: C) Lihat Penjelasan ▼

Misal buku = x, pensil = y, penghapus = z.
(1) 2x + y + z = 14.000
(2) x + 2y + z = 13.000
(3) 3x + 2y + z = 22.000
Kurangkan persamaan (3) dengan persamaan (2):
(3x - x) + (2y - 2y) + (z - z) = 22.000 - 13.000
2x = 9.000 → x = 4.500. Jadi, harga 1 buku adalah Rp4.500.

👉 Pembahasan Soal #3 (Jawaban: C) Lihat Penjelasan ▼

Kurangkan pers (3) dan (2): (3x+2y+z) - (2x-y+z) = 16 - 5 → x + 3y = 11.
Eliminasi z dari pers (1) dan (2)[x3]: (x+2y-3z) + (6x-3y+3z) = -4 + 15 → 7x - y = 11.
Didapatkan x = 2 dan y = 3. Masukkan ke pers (2): 2(2) - 3 + z = 5 → z = 4.
Nilai x + y + z = 2 + 3 + 4 = 9.

👉 Pembahasan Soal #4 (Jawaban: B) Lihat Penjelasan ▼

Misal a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z. Jumlahkan ketiga persamaan:
2(a + b + c) = 5 + 7 + 6 = 18 → a + b + c = 9.
Karena b + c = 7, maka a = 2 → x = 1/2.
Karena a + c = 6, maka b = 3 → y = 1/3.
Karena a + b = 5, maka c = 4 → z = 1/4.
Maka x · y · z = (1/2) × (1/3) × (1/4) = 1/24.

👉 Pembahasan Soal #5 (Jawaban: B) Lihat Penjelasan ▼

Dalam Aturan Cramer, karena pembagian dilakukan oleh nilai determinan utama (misal x = D_x / D), maka syarat mutlak agar menghasilkan satu nilai tunggal yang terdefinisi adalah pembagi tidak boleh nol, yaitu D ≠ 0.

🔗 Baca Juga Artikel Lainnya

• 📘 Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat: Rumus ABC, Diskriminan, dan Jenis Akar
• 📗 Rangkuman Materi Program Linear: Sistem Pertidaksamaan dan Nilai Optimum
• 📕 Materi Matriks dan Determinan: Operasi, Invers, dan Penerapannya

---

📖 Sumber Referensi: Zenius - SPLTV | Ruang Guru - SPLTV

Matematika Aljabar

Teori Lengkap dan Kumpulan Rumus Logaritma Beserta Sifat-Sifat Operasinya 🚀

Pahami konsep dasar logaritma sebagai kebalikan (invers) dari eksponen, kuasai 10 sifat utamanya, dan uji kemampuanmu dengan latihan soal interaktif!

📌 Pengertian Dasar Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponensial atau pemangkatan. Jika sebuah perpangkatan dituliskan sebagai ac = b, maka bentuk logaritmanya adalah:

^alog b = c  ⇔  a^c = b

Keterangan & Syarat:
• a = Basis atau bilangan pokok logaritma (Syarat: a > 0 dan a ≠ 1)
• b = Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya (Syarat: b > 0)
• c = Hasil logaritma (besar pangkat)

⚡ 10 Sifat & Rumus Operasi Logaritma

Berikut adalah sifat-sifat logaritma wajib yang menjadi kunci utama menyelesaikan berbagai tipe soal:

1. ^alog a = 1

2. ^alog 1 = 0

3. ^alog (x · y) = ^alog x + ^alog y

4. ^alog (x / y) = ^alog x - ^alog y

5. ^alog bⁿ = n · ^alog b

6. ^amlog bⁿ = (n/m) · ^alog b

7. ^alog b = ^plog b / ^plog a

8. ^alog b = 1 / ^blog a

9. ^alog b · ^blog c = ^alog c

10. a^{(alog b)} = b

🎯 Latihan 10 Soal Pilihan Ganda Logaritma

Pilih satu jawaban yang paling tepat, lalu klik tombol cek di bagian bawah!

Auto-Save Firebase

1. Nilai dari ²log 16 + ²log 8 adalah ...

A. 5 B. 7 C. 8 D. 12

2. Nilai dari ³log 81 - ³log 9 adalah ...

A. 2 B. 3 C. 4 D. 9

3. Jika ²log 3 = a dan ²log 5 = b, maka nilai dari ²log 45 adalah ...

A. a + 2b B. 2a + b C. 2a + 2b D. a²b

4. Hasil dari ²log 3 · ³log 5 · ⁵log 64 adalah ...

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

5. Nilai dari ²⁵log 125 adalah ...

A. 2 / 3 B. 3 / 2 C. 5 D. 25

6. Nilai dari ⁵log √125 adalah ...

A. 1 / 2 B. 3 / 2 C. 2 D. 3

7. Nilai sederhana dari 2^{(2log 7)} adalah ...

A. 2 B. 5 C. 7 D. 14

8. Penyelesaian dari persamaan ²log (x - 3) = 3 adalah ...

A. x = 9 B. x = 11 C. x = 12 D. x = 15

9. Nilai dari (³log 36 - ³log 4) / ³log √27 adalah ...

A. 4 / 3 B. 3 / 2 C. 2 D. 4

10. Jika ⁵log 2 = p, maka nilai dari ¹⁰log 5 adalah ...

A. 1 / (1 + p) B. p / (1 + p) C. (1 + p) / p D. 1 - p

🔍 Pembahasan Lengkap Jawaban (Klik untuk Membuka):

👉 Pembahasan Soal #1 (Jawaban: B. 7) Lihat Penjelasan ▼

Gunakan sifat penjumlahan: ²log (16 × 8) = ²log 128 = ²log 2⁷ = 7.

👉 Pembahasan Soal #2 (Jawaban: A. 2) Lihat Penjelasan ▼

Gunakan sifat pengurangan: ³log (81 / 9) = ³log 9 = ³log 3² = 2.

👉 Pembahasan Soal #3 (Jawaban: B. 2a + b) Lihat Penjelasan ▼

Uraikan angka 45: ²log 45 = ²log (9 × 5) = ²log 3² + ²log 5 = 2(²log 3) + ²log 5 = 2a + b.

👉 Pembahasan Soal #4 (Jawaban: C. 6) Lihat Penjelasan ▼

Gunakan sifat rantai logaritma: ²log 3 · ³log 5 · ⁵log 64 = ²log 64 = ²log 2⁶ = 6.

👉 Pembahasan Soal #5 (Jawaban: B. 3 / 2) Lihat Penjelasan ▼

Ubah ke bilangan pokok 5: ²⁵log 125 = ⁵²log 5³ = (3 / 2) · ⁵log 5 = 3 / 2.

👉 Pembahasan Soal #6 (Jawaban: B. 3 / 2) Lihat Penjelasan ▼

Ingat bahwa √125 = (5³)^1/2 = 5^3/2. Maka ⁵log 5^3/2 = 3 / 2.

👉 Pembahasan Soal #7 (Jawaban: C. 7) Lihat Penjelasan ▼

Sesuai sifat eksponensial logaritma a^{(alog b)} = b, maka 2^{(2log 7)} = 7.

👉 Pembahasan Soal #8 (Jawaban: B. x = 11) Lihat Penjelasan ▼

Ubah ke bentuk eksponen: x - 3 = 2³ → x - 3 = 8 → x = 8 + 3 = 11.

👉 Pembahasan Soal #9 (Jawaban: A. 4 / 3) Lihat Penjelasan ▼

Pembilang: ³log (36/4) = ³log 9 = 2.
Penyebut: ³log (3³)^1/2 = ³log 3^3/2 = 3 / 2.
Maka hasil bagi = 2 / (3/2) = 4 / 3.

👉 Pembahasan Soal #10 (Jawaban: A. 1 / (1 + p)) Lihat Penjelasan ▼

Gunakan perubahan basis 5: ¹⁰log 5 = ⁵log 5 / ⁵log 10 = 1 / ⁵log (2 × 5) = 1 / (⁵log 2 + ⁵log 5) = 1 / (p + 1).

🔗 Baca Juga Artikel Lainnya

• 📘 Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat: Rumus ABC, Diskriminan, dan Jenis Akar
• 📗 Rangkuman Materi Program Linear: Sistem Pertidaksamaan dan Nilai Optimum
• 📕 Konsep Dasar SPLTV: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel & Metode Penyelesaiannya

---

📖 Sumber Referensi: Zenius - Logaritma | Ruang Guru - Sifat Logaritma