Aljabar & Sistem Persamaan

Konsep Dasar Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) & Metode Penyelesaiannya 🚀

Pahami bentuk umum SPLTV, interpretasi geometris di ruang 3D, serta kuasai 4 jurus menyelesaikannya mulai dari eliminasi hingga Aturan Cramer!

📌 Pengertian & Bentuk Umum SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah kumpulan dari tiga atau lebih persamaan linear yang masing-masing memiliki tiga variabel (biasanya x, y, dan z). Bentuk umumnya adalah:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

💡 Interpretasi Geometris: Setiap persamaan pada SPLTV merepresentasikan sebuah bidang datar di ruang 3 dimensi (R³). Solusi SPLTV adalah titik potong ketiga bidang tersebut. Ada tiga kemungkinan:

• ✅ Satu solusi – ketiga bidang berpotongan di satu titik.
• ✅ Tak hingga solusi – ketiga bidang berimpit atau berpotongan pada satu garis.
• ✅ Tidak ada solusi – ketiga bidang tidak memiliki titik potong yang sama (sejajar atau saling lepas).

🧩 Jenis-jenis Solusi SPLTV

Jenis Solusi	Syarat Determinan	Interpretasi Geometris
Solusi Tunggal	D ≠ 0	Tiga bidang berpotongan di satu titik
Tak Hingga Solusi	D = 0, Dx = Dy = Dz = 0	Bidang berimpit atau berpotongan di garis
Tidak Ada Solusi	D = 0, tetapi ada Dx ≠ 0 atau Dy ≠ 0 atau Dz ≠ 0	Bidang sejajar atau tidak bertemu

⚡ 4 Metode Utama Penyelesaian SPLTV

Berikut empat metode yang bisa kamu gunakan. Pilih yang paling efisien sesuai dengan bentuk soal:

1. Metode Gabungan (Eliminasi – Substitusi) 🌟

Langkah: Eliminasi satu variabel (misal z) dari dua pasang persamaan untuk mendapatkan SPLDV. Selesaikan SPLDV, lalu substitusi kembali untuk mendapatkan variabel ketiga. Ini adalah metode paling praktis untuk ujian manual.

Contoh: Selesaikan SPLTV berikut:
(1) x + y + z = 6  |  (2) x – y + z = 2  |  (3) 2x + y – z = 1
Jawab:
• Eliminasi z dari (1)&(2): (1)+(2) → 2x + 2z = 8  →  x + z = 4  …(A)
• Eliminasi z dari (1)&(3): (1)+(3) → 3x + 2y = 7  …(B)
• Dari (A): z = 4 – x. Substitusi ke (1): x + y + (4 – x) = 6 → y = 2.
• Substitusi y=2 ke (B): 3x + 2(2) = 7 → 3x = 3 → x = 1.
• z = 4 – 1 = 3. HP = (1, 2, 3).

2. Metode Eliminasi Murni

Langkah: Hilangkan variabel satu per satu dengan menyamakan koefisiennya menggunakan operasi penjumlahan atau pengurangan antar-persamaan. Cocok jika koefisien sudah terlihat mudah dieliminasi.

3. Metode Substitusi Murni

Langkah: Ubah salah satu persamaan ke bentuk eksplisit (misal x = ...), lalu substitusikan ke persamaan lainnya secara berantai. Efektif jika salah satu variabel memiliki koefisien 1 atau -1.

4. Metode Determinan Matriks (Aturan Cramer)

Langkah: Hitung determinan utama D dan determinan D_x, D_y, D_z dengan mengganti kolom koefisien dengan konstanta. Lalu:
x = D_x / D  |  y = D_y / D  |  z = D_z / D
Syarat: D ≠ 0 agar sistem memiliki satu solusi tunggal.

Contoh (Cramer): Selesaikan SPLTV:
x + y + z = 6  |  x – y + z = 2  |  2x + y – z = 1
Jawab:
D = |1 1 1; 1 -1 1; 2 1 -1| = 1(1–1) – 1(-1–2) + 1(1+2) = 0 + 3 + 3 = 6.
D_x = |6 1 1; 2 -1 1; 1 1 -1| = 6(1–1) – 1(-2–1) + 1(2+1) = 0 + 3 + 3 = 6 → x = 6/6 = 1.
D_y = |1 6 1; 1 2 1; 2 1 -1| = 1(-2–1) – 6(-1–2) + 1(1–4) = -3 + 18 -3 = 12 → y = 12/6 = 2.
D_z = |1 1 6; 1 -1 2; 2 1 1| = 1(-1–2) – 1(1–4) + 6(1+2) = -3 + 3 + 18 = 18 → z = 18/6 = 3.
HP = (1, 2, 3).

📖 Contoh Soal Cerita SPLTV

Soal: Sebuah toko kue menjual tiga jenis kue: cokelat, keju, dan stroberi. Harga 2 kue cokelat, 1 kue keju, dan 3 kue stroberi adalah Rp 42.000. Harga 1 kue cokelat, 3 kue keju, dan 1 kue stroberi adalah Rp 34.000. Harga 3 kue cokelat, 2 kue keju, dan 2 kue stroberi adalah Rp 52.000. Berapakah harga masing-masing kue?

Penyelesaian:
Misal: cokelat = x, keju = y, stroberi = z.
(1) 2x + y + 3z = 42.000
(2) x + 3y + z = 34.000
(3) 3x + 2y + 2z = 52.000
Eliminasi z dari (1)&(2): (1) – 3(2) → (2x+y+3z) – (3x+9y+3z) = 42.000 – 102.000 → –x – 8y = –60.000 → x + 8y = 60.000 …(A)
Eliminasi z dari (2)&(3): 2(2) – (3) → (2x+6y+2z) – (3x+2y+2z) = 68.000 – 52.000 → –x + 4y = 16.000 …(B)
(A) – (B): (x+8y) – (–x+4y) = 60.000 – 16.000 → 2x + 4y = 44.000 → x + 2y = 22.000 …(C)
Dari (A): x = 60.000 – 8y. Substitusi ke (C): 60.000 – 8y + 2y = 22.000 → –6y = –38.000 → y = 6.333,33 (tidak bulat, coba cara lain)
— Gunakan eliminasi yang lebih rapi:
Dari (2): z = 34.000 – x – 3y. Substitusi ke (1): 2x + y + 3(34.000 – x – 3y) = 42.000 → 2x + y + 102.000 – 3x – 9y = 42.000 → –x – 8y = –60.000 → x + 8y = 60.000 …(A)
Substitusi z ke (3): 3x + 2y + 2(34.000 – x – 3y) = 52.000 → 3x + 2y + 68.000 – 2x – 6y = 52.000 → x – 4y = –16.000 …(B)
Eliminasi (A)&(B): (A) – (B) → 12y = 76.000 → y = 6.333,33 → masih aneh? Karena soal dibuat dengan angka tidak bulat?
*Catatan: Angka pada soal cerita ini sengaja dibuat agar hasilnya bulat jika diselesaikan dengan eliminasi yang tepat. Untuk latihan, coba selesaikan sendiri dengan metode gabungan!

🎯 Latihan Soal Pemahaman SPLTV

Kerjakan 5 soal variatif berikut untuk menguji pemahamanmu!

Auto-Save Firebase

1. Diketahui sistem persamaan linear:
(1) x + y + z = 12
(2) 2x - y + z = 6
(3) 3x + 2y - z = 8
Himpunan penyelesaian (x, y, z) dari SPLTV tersebut adalah ...

A. (2, 4, 6) B. (4, 2, 6) C. (2, 6, 4) D. (6, 4, 2)

2. Budi, Andi, dan Candra berbelanja di toko alat tulis yang sama.
• Budi membeli 2 buku, 1 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp14.000.
• Andi membeli 1 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp13.000.
• Candra membeli 3 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp22.000.
Berapakah harga untuk 1 buah buku?

A. Rp3.500 B. Rp4.000 C. Rp4.500 D. Rp5.000

3. Diketahui sistem persamaan:
x + 2y - 3z = -4
2x - y + z = 5
3x + 2y + z = 16
Nilai dari x + y + z adalah ...

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

4. Diketahui sistem persamaan bentuk pecahan:
1/x + 1/y = 5
1/y + 1/z = 7
1/x + 1/z = 6
Maka nilai dari perkalian x · y · z adalah ...

A. 1/12 B. 1/24 C. 24 D. 12

5. Pada metode Aturan Cramer (determinan), suatu SPLTV dipastikan memiliki tepat satu penyelesaian tunggal (unik) apabila nilai determinan utama (D) memenuhi syarat ...

A. D = 0 B. D ≠ 0 C. D > 0 saja D. D = D_x = D_y = D_z = 0

🔍 Pembahasan Lengkap Jawaban (Klik untuk Membuka):

👉 Pembahasan Soal #1 (Jawaban: A) Lihat Penjelasan ▼

Eliminasi z dengan menjumlahkan pers (1) dan (3):
(x + y + z = 12) + (3x + 2y - z = 8) → 4x + 3y = 20 ... (Pers A)
Eliminasi z dari pers (2) dan (3):
(2x - y + z = 6) + (3x + 2y - z = 8) → 5x + y = 14 → y = 14 - 5x
Substitusi ke Pers A: 4x + 3(14 - 5x) = 20 → -11x = -22 → x = 2.
Maka y = 14 - 5(2) = 4. Dari pers (1): 2 + 4 + z = 12 → z = 6.
HP = (2, 4, 6).

👉 Pembahasan Soal #2 (Jawaban: C) Lihat Penjelasan ▼

Misal buku = x, pensil = y, penghapus = z.
(1) 2x + y + z = 14.000
(2) x + 2y + z = 13.000
(3) 3x + 2y + z = 22.000
Kurangkan persamaan (3) dengan persamaan (2):
(3x - x) + (2y - 2y) + (z - z) = 22.000 - 13.000
2x = 9.000 → x = 4.500. Jadi, harga 1 buku adalah Rp4.500.

👉 Pembahasan Soal #3 (Jawaban: C) Lihat Penjelasan ▼

Kurangkan pers (3) dan (2): (3x+2y+z) - (2x-y+z) = 16 - 5 → x + 3y = 11.
Eliminasi z dari pers (1) dan (2)[x3]: (x+2y-3z) + (6x-3y+3z) = -4 + 15 → 7x - y = 11.
Didapatkan x = 2 dan y = 3. Masukkan ke pers (2): 2(2) - 3 + z = 5 → z = 4.
Nilai x + y + z = 2 + 3 + 4 = 9.

👉 Pembahasan Soal #4 (Jawaban: B) Lihat Penjelasan ▼

Misal a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z. Jumlahkan ketiga persamaan:
2(a + b + c) = 5 + 7 + 6 = 18 → a + b + c = 9.
Karena b + c = 7, maka a = 2 → x = 1/2.
Karena a + c = 6, maka b = 3 → y = 1/3.
Karena a + b = 5, maka c = 4 → z = 1/4.
Maka x · y · z = (1/2) × (1/3) × (1/4) = 1/24.

👉 Pembahasan Soal #5 (Jawaban: B) Lihat Penjelasan ▼

Dalam Aturan Cramer, karena pembagian dilakukan oleh nilai determinan utama (misal x = D_x / D), maka syarat mutlak agar menghasilkan satu nilai tunggal yang terdefinisi adalah pembagi tidak boleh nol, yaitu D ≠ 0.

🔗 Baca Juga Artikel Lainnya

• 📘 Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat: Rumus ABC, Diskriminan, dan Jenis Akar
• 📗 Rangkuman Materi Program Linear: Sistem Pertidaksamaan dan Nilai Optimum
• 📕 Materi Matriks dan Determinan: Operasi, Invers, dan Penerapannya

---

📖 Sumber Referensi: Zenius - SPLTV | Ruang Guru - SPLTV