Rangkuman Materi Program Linear: Sistem Pertidaksamaan dan Nilai Optimum 🎯
Pelajari cara memodelkan masalah optimasi, menggambar daerah penyelesaian, dan menentukan nilai maksimum/minimum dengan metode uji titik pojok!
📌 Apa itu Program Linear?
Program Linear adalah metode matematika untuk mencari nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi objektif (fungsi tujuan) yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan linear. Komponen utamanya adalah:
- Fungsi Tujuan (Objektif): z = ax + by (yang ingin dimaksimumkan/diminimumkan)
- Kendala (Sistem Pertidaksamaan): berupa batasan-batasan yang harus dipenuhi
- Daerah Penyelesaian (DP): daerah yang memenuhi semua kendala
Maksimumkan z = 3x + 5y
dengan kendala: x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
📝 Langkah-Langkah Menyelesaikan Program Linear
📐 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Bentuk umum: ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c dengan a, b, c bilangan real.
✏️ Tips Menggambar Daerah Penyelesaian:
- Ganti tanda pertidaksamaan menjadi "=", lalu gambar garisnya.
- Uji titik (0,0) atau titik lain untuk menentukan daerah arsiran.
- Untuk ≤, daerah penyelesaian di bawah garis (jika titik uji memenuhi).
- Untuk ≥, daerah penyelesaian di atas garis (jika titik uji memenuhi).
- Kendala x ≥ 0 dan y ≥ 0 membatasi daerah di kuadran I.
🎯 Nilai Optimum dengan Metode Uji Titik Pojok
Setelah mendapatkan titik-titik pojok daerah penyelesaian, substitusikan ke fungsi tujuan z = ax + by. Nilai optimum adalah:
- ✅ Nilai Maksimum → z terbesar
- ✅ Nilai Minimum → z terkecil
💡 Catatan: Jika fungsi tujuan memiliki gradien yang sejajar dengan salah satu garis kendala, maka nilai optimum bisa terjadi di sepanjang ruas garis (tak hingga solusi optimum).
📝 Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Mencari Nilai Maksimum
Diketahui: Sistem pertidaksamaan:
x + y ≤ 6
2x + y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Fungsi tujuan: z = 3x + 5y
Ditanya: Nilai maksimum z!
Dijawab:
• (0,0): z = 0
• (4,0): dari 2x + y = 8, y=0 → x=4 → z = 3(4)+5(0) = 12
• (0,6): dari x + y = 6, x=0 → y=6 → z = 3(0)+5(6) = 30
• (2,4): eliminasi x+y=6 dan 2x+y=8 → x=2, y=4 → z = 3(2)+5(4) = 6+20 = 26
Jadi nilai maksimum z = 30 di titik (0,6).
Soal 2: Mencari Nilai Minimum
Diketahui: Sistem pertidaksamaan:
x + 2y ≥ 8
2x + y ≥ 10
x ≥ 0, y ≥ 0
Fungsi tujuan: z = 4x + 3y
Ditanya: Nilai minimum z!
Dijawab:
• (0,8): dari x+2y=8, x=0 → y=4? (cek: 0+2y=8 → y=4) → z = 4(0)+3(4) = 12
• (8,0): dari 2x+y=10, y=0 → x=5? (cek: 2x+0=10 → x=5) → (5,0) → z = 4(5)+3(0) = 20
• (4,2): eliminasi x+2y=8 dan 2x+y=10 → x=4, y=2 → z = 4(4)+3(2) = 16+6 = 22
Jadi nilai minimum z = 12 di titik (0,4).
Soal 3: Soal Cerita
Diketahui: Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis produk A dan B. Produk A membutuhkan 2 jam mesin I dan 1 jam mesin II. Produk B membutuhkan 1 jam mesin I dan 3 jam mesin II. Mesin I tersedia 10 jam/hari, mesin II tersedia 12 jam/hari. Keuntungan produk A = Rp 10.000/unit, produk B = Rp 15.000/unit.
Ditanya: Berapa unit masing-masing produk agar keuntungan maksimum?
Dijawab:
Misal x = produk A, y = produk B.
Kendala: 2x + y ≤ 10 (mesin I), x + 3y ≤ 12 (mesin II), x ≥ 0, y ≥ 0.
Fungsi tujuan: z = 10.000x + 15.000y (maksimum).
Titik pojok:
• (0,0): z = 0
• (5,0): z = 10.000(5) = 50.000
• (0,4): z = 15.000(4) = 60.000
• (3,4): eliminasi 2x+y=10 dan x+3y=12 → x=3, y=4 → z = 10.000(3)+15.000(4) = 30.000+60.000 = 90.000
Keuntungan maksimum Rp 90.000 di titik (3,4).
Jadi produksi 3 unit A dan 4 unit B.
🎯 Latihan Soal Program Linear
Kerjakan 5 soal berikut untuk menguji pemahamanmu!🔗 Baca Juga Artikel Lainnya
- 📘 Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat: Rumus ABC, Diskriminan, dan Jenis Akar
- 📗 Kumpulan Contoh Soal Program Linear & Pembahasan
- 📕 Materi Fungsi Kuadrat: Grafik dan Sifat-Sifatnya
📖 Sumber Referensi: Zenius - Program Linear | Ruang Guru - Program Linear
Tidak ada komentar:
Posting Komentar