Aljabar

Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat: Rumus ABC, Diskriminan, dan Jenis Akar 📐

Pahami bentuk umum, cara menentukan akar-akar, diskriminan, dan sifat-sifat akar persamaan kuadrat secara lengkap dan mudah!

📌 Apa itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial (suku banyak) berderajat dua. Bentuk umumnya adalah:

ax² + bx + c = 0   dengan   a ≠ 0

• a = koefisien x²
• b = koefisien x
• c = konstanta (suku tetap)

💡 Catatan: Jika a = 0, maka persamaan menjadi linear, bukan kuadrat.

🔍 3 Metode Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

1. Pemfaktoran (Faktorisasi)

Mengubah bentuk ax² + bx + c = 0 menjadi (px + q)(rx + s) = 0, lalu akar-akarnya adalah x = –q/p atau x = –s/r.
Syarat: a, b, c berupa bilangan bulat dan dapat difaktorkan dengan mudah.

Contoh: x² – 5x + 6 = 0 → (x – 2)(x – 3) = 0 → x = 2 atau x = 3.

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Mengubah persamaan ke bentuk (x + p)² = q, lalu menarik akar kedua ruas.
Langkah: Pastikan koefisien x² = 1, pindahkan c ke ruas kanan, tambahkan (b/2)² pada kedua ruas.

Contoh: x² + 6x – 7 = 0 → x² + 6x = 7 → (x + 3)² = 16 → x + 3 = ±4 → x = 1 atau x = –7.

3. Rumus ABC (Rumus Kuadrat) ⭐

Rumus ini berlaku untuk semua persamaan kuadrat, termasuk yang sulit difaktorkan. Akar-akarnya adalah:

x₁,₂ =   ^{–b ± √(b² – 4ac)} / _2a

Bagian di dalam akar, D = b² – 4ac, disebut diskriminan.

🧩 Diskriminan (D) dan Jenis-Jenis Akar

Nilai diskriminan D = b² – 4ac menentukan sifat akar-akar persamaan kuadrat:

Nilai Diskriminan	Jenis Akar	Contoh
D > 0	Dua akar real berbeda (x₁ ≠ x₂)	x² – 5x + 6 = 0 (D=1)
D = 0	Dua akar real kembar (x₁ = x₂)	x² – 4x + 4 = 0 (D=0)
D < 0	Dua akar imajiner (tidak real)	x² + x + 1 = 0 (D=–3)

💡 Ingat: Jika D ≥ 0, akar-akarnya real; jika D < 0, akar-akarnya tidak real (imajiner).

📐 Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0, maka berlaku rumus Vieta:

x₁ + x₂ = – b/a

x₁ · x₂ = c/a

Rumus ini sangat berguna untuk menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui jumlah dan hasil kali akarnya.

📝 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Mencari Akar dengan Rumus ABC

Diketahui: Persamaan kuadrat 2x² – 7x + 3 = 0.
Ditanya: Tentukan akar-akarnya menggunakan rumus ABC!
Dijawab:

Dari persamaan: a = 2, b = –7, c = 3.
Diskriminan D = b² – 4ac = (–7)² – 4·2·3 = 49 – 24 = 25.
x₁,₂ = (7 ± √25) / (2·2) = (7 ± 5) / 4.
x₁ = (7 + 5)/4 = 12/4 = 3.
x₂ = (7 – 5)/4 = 2/4 = ½.
Jadi, akar-akarnya adalah 3 dan ½.

Soal 2: Menentukan Jenis Akar

Diketahui: Persamaan kuadrat x² – 6x + 9 = 0.
Ditanya: Tentukan jenis akar-akarnya dan nilai akar tersebut!
Dijawab:

a = 1, b = –6, c = 9.
D = (–6)² – 4·1·9 = 36 – 36 = 0.
Karena D = 0, maka persamaan memiliki dua akar real kembar.
x₁,₂ = (6 ± 0) / 2 = 3.
Jadi, akar kembarnya adalah 3.

Soal 3: Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Diketahui: Sebuah persegi panjang memiliki panjang 5 cm lebih dari lebarnya. Luas persegi panjang tersebut adalah 84 cm².
Ditanya: Tentukan ukuran panjang dan lebar persegi panjang tersebut!
Dijawab:

Misal lebar = x cm, maka panjang = x + 5 cm.
Luas = panjang × lebar → x(x + 5) = 84 → x² + 5x – 84 = 0.
a = 1, b = 5, c = –84.
D = 5² – 4·1·(–84) = 25 + 336 = 361 = 19².
x₁,₂ = (–5 ± 19)/2 → x₁ = 7, x₂ = –12 (tidak mungkin negatif).
Jadi lebar = 7 cm, panjang = 7 + 5 = 12 cm.
Ukuran: panjang 12 cm, lebar 7 cm.

🎯 Latihan Soal Persamaan Kuadrat

Kerjakan 5 soal berikut, lalu cek jawaban dan simpan nilaimu!

Auto-Save Firebase

1. Akar-akar persamaan x² – 7x + 12 = 0 adalah ...

A. 3 dan 4 B. –3 dan –4 C. 2 dan 6 D. –2 dan –6

2. Nilai diskriminan dari persamaan 3x² – 5x + 2 = 0 adalah ...

A. 1 B. –1 C. 4 D. 9

3. Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar 2 dan –5 adalah ...

A. x² – 3x – 10 = 0 B. x² + 3x – 10 = 0 C. x² – 7x + 10 = 0 D. x² + 7x + 10 = 0

4. Jika persamaan x² – 4x + (k – 1) = 0 memiliki akar kembar, nilai k adalah ...

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan 2x² – 6x + 1 = 0 berturut-turut adalah ...

A. 3 dan ½ B. –3 dan ½ C. 3 dan 2 D. –3 dan 2

🔍 Pembahasan Lengkap Jawaban (Klik untuk Membuka):

👉 Soal #1 (Jawaban: A) Lihat Penjelasan ▼

x² – 7x + 12 = 0 → (x – 3)(x – 4) = 0 → x = 3 atau x = 4. Akar-akarnya 3 dan 4.

👉 Soal #2 (Jawaban: A) Lihat Penjelasan ▼

a = 3, b = –5, c = 2. D = (–5)² – 4·3·2 = 25 – 24 = 1. Diskriminan = 1.

👉 Soal #3 (Jawaban: B) Lihat Penjelasan ▼

Jumlah akar = 2 + (–5) = –3 → –b/a = –3 → b = 3 (jika a=1).
Hasil kali = 2 · (–5) = –10 → c/a = –10 → c = –10.
Persamaan: x² + 3x – 10 = 0. Jawaban B.

👉 Soal #4 (Jawaban: C) Lihat Penjelasan ▼

Akar kembar → D = 0. a = 1, b = –4, c = k – 1.
D = (–4)² – 4·1·(k–1) = 16 – 4k + 4 = 20 – 4k = 0 → 4k = 20 → k = 5.
Jadi k = 5.

👉 Soal #5 (Jawaban: A) Lihat Penjelasan ▼

a = 2, b = –6, c = 1.
Jumlah = –b/a = –(–6)/2 = 3.
Hasil kali = c/a = ½.
Jadi 3 dan ½ → jawaban A.

🔗 Baca Juga Artikel Lainnya

• 📘 Kumpulan Contoh Soal Persamaan Kuadrat & Pembahasan
• 📗 Materi Fungsi Kuadrat: Grafik dan Sifat-Sifatnya
• 📕 Pertidaksamaan Kuadrat: Cara Menyelesaikan & Contoh Soal

---

📖 Sumber Referensi: Zenius - Rumus ABC | Ruang Guru - Persamaan Kuadrat