Penerapan barisan dan deret dalam masalah pertumbuhan, peluruhan, bunga tunggal, dan bunga majemuk

Penerapan barisan dan deret dalam masalah pertumbuhan, peluruhan, bunga tunggal, dan bunga majemuk:

1. Barisan dan Deret Aritmetika (Bunga Tunggal)

• Bunga Tunggal: Bunga yang dihitung hanya berdasarkan modal awal.

• Rumus:

  • Modal akhir setelah $n$ periode:

    $$M_n=M_0(1+n\cdot i)$$

  • Keterangan:

    • $M_0$ = Modal awal

    • $i$ = Suku bunga per periode (dalam desimal)

    • $n$ = Jumlah periode

• Contoh:
  Jika Anda menabung Rp1.000.000 dengan bunga tunggal 5% per tahun selama 3 tahun:

  $$M_3=\mathrm{1.000.000}(1+3\cdot 0,05)=\mathrm{1.000.000}\times 1,15=Rp\mathrm{1.150.000}$$

2. Barisan dan Deret Geometri (Bunga Majemuk)

• Bunga Majemuk: Bunga yang dihitung berdasarkan modal awal dan bunga yang terkumpul sebelumnya.

• Rumus:

  • Modal akhir setelah $n$ periode:

    $$M_n=M_0(1+i{)}^n$$

  • Jika bunga dibayarkan $k$ kali dalam setahun:

    $$M_n=M_0{(1+\frac{r}{k})}^{n\cdot k}$$

  • Keterangan:

    • $r$ = Suku bunga tahunan (dalam desimal)

    • $k$ = Frekuensi pembayaran bunga per tahun

• Contoh:
  Jika Anda menabung Rp1.000.000 dengan bunga majemuk 5% per tahun selama 3 tahun:

  $$M_3=\mathrm{1.000.000}(1+0,05{)}^3=\mathrm{1.000.000}\times 1,157625=Rp\mathrm{1.157.625}$$

3. Pertumbuhan (Growth)

• Model Pertumbuhan Eksponensial: Mengikuti deret geometri.

• Rumus:

  $$P_n=P_0(1+r{)}^n$$

  • Keterangan:

    • $P_0$ = Jumlah awal

    • $r$ = Laju pertumbuhan per periode

    • $n$ = Jumlah periode

• Contoh:
  Populasi bakteri bertambah 10% setiap jam. Jika awalnya ada 500 bakteri, setelah 5 jam:

  $$P_5=500(1+0,10{)}^5=500\times 1,6105\approx 805\text{ bakteri}$$

4. Peluruhan (Decay)

• Model Peluruhan Eksponensial: Juga mengikuti deret geometri, tetapi dengan laju pengurangan.

• Rumus:

  $$Q_n=Q_0(1-r{)}^n$$

  • Keterangan:

    • $Q_0$ = Jumlah awal

    • $r$ = Laju peluruhan per periode

    • $n$ = Jumlah periode

• Contoh:
  Suatu zat radioaktif meluruh 20% per tahun. Jika awalnya ada 1000 gram, setelah 4 tahun:

  $$Q_4=1000(1-0,20{)}^4=1000\times 0,4096=409,6\text{ gram}$$

Ringkasan Perbedaan Utama:

Konsep	Rumus	Jenis Barisan/Deret	Contoh Aplikasi
Bunga Tunggal	$M_n=M_0(1+ni)$	Aritmetika	Tabungan sederhana
Bunga Majemuk	$M_n=M_0(1+i{)}^n$	Geometri	Investasi jangka panjang
Pertumbuhan	$P_n=P_0(1+r{)}^n$	Geometri	Populasi, bisnis
Peluruhan	$Q_n=Q_0(1-r{)}^n$	Geometri	Zat radioaktif, penyusutan

Latihan Soal :

1. Jumlah penduduk suatu kota meningkat 2% setiap tahun. Jika pada tahun 2020 penduduknya 50.000 jiwa, berapa perkiraan jumlah penduduk pada tahun 2025?
2. Sebuah mobil baru harganya Rp 300.000.000. Setiap tahun, nilai mobil tersebut menyusut 10% dari nilai tahun sebelumnya. Berapa nilai mobil setelah 4 tahun?
3. Rina menabung Rp 5.000.000 di bank dengan bunga tunggal 6% per tahun. Berapa total tabungannya setelah 3 tahun?
4. Andi menyimpan uang Rp 10.000.000 di bank dengan bunga majemuk 5% per tahun. Berapa uang Andi setelah 4 tahun?
5. Setiap bulan, Budi menabung Rp 200.000. Jika tabungan pertama dimulai bulan Januari 2023 dengan bunga tetap Rp 10.000 per bulan, berapa total tabungan Budi pada bulan Desember 2023?