AKSIOMAMATH • MATEMATIKA SMA/SMK

Persamaan Kuadrat

Materi Pertemuan 1–4: memahami bentuk persamaan, menemukan akar, dan menganalisis diskriminan.

📘 Materi Aljabar⏱ 4 Pertemuan🧠 Memahami • Mengaplikasi • Menalar

Pertemuan 1Pertemuan 2Pertemuan 3Pertemuan 4Rangkuman

PERTEMUAN 1

Konsep dan Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

1. Tujuan Pembelajaran

• Mengenali persamaan kuadrat satu variabel.
• Menentukan koefisien \(a\), \(b\), dan konstanta \(c\).
• Membedakan persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap.
• Menghubungkan persamaan kuadrat dengan situasi sederhana.

2. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan satu variabel yang pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Bentuk umumnya:

\[\boxed{ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0}\]

Keterangan: \(a\) adalah koefisien \(x^2\), \(b\) adalah koefisien \(x\), dan \(c\) adalah konstanta. Syarat \(a\ne0\) wajib dipenuhi agar persamaan tersebut berderajat dua.

Contoh mengenali koefisien

Pada persamaan \(2x^2-7x+3=0\), diperoleh \(a=2\), \(b=-7\), dan \(c=3\). Tanda negatif harus ikut diperhatikan.

3. Persamaan Kuadrat Lengkap dan Tidak Lengkap

Jenis	Bentuk	Contoh
Lengkap	\(ax^2+bx+c=0\), \(b\ne0,c\ne0\)	\(x^2-5x+6=0\)
Tidak lengkap (\(b=0\))	\(ax^2+c=0\)	\(x^2-9=0\)
Tidak lengkap (\(c=0\))	\(ax^2+bx=0\)	\(x^2-4x=0\)
Tidak lengkap (\(b=0,c=0\))	\(ax^2=0\)	\(3x^2=0\)

4. Ilustrasi Kontekstual

Sebuah taman berbentuk persegi panjang memiliki lebar \(x\) meter dan panjang \(x+3\) meter. Luas taman dinyatakan:

\[L=x(x+3)=x^2+3x\]

Ilustrasi bentuk taman; ukuran sebenarnya bergantung pada nilai \(x\).

5. Contoh Soal dan Pembahasan

Soal: Tentukan nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) dari persamaan \(3x^2+2x-8=0\). Apakah persamaan tersebut lengkap?

Diketahui: \(3x^2+2x-8=0\).

Ditanya: Nilai \(a,b,c\) dan jenis persamaan.

Pembahasan:

1

Cocokkan dengan bentuk umum \(ax^2+bx+c=0\).

2

Koefisien \(x^2\) adalah \(a=3\).

3

Koefisien \(x\) adalah \(b=2\), sedangkan konstanta \(c=-8\).

Kesimpulan: \(a=3\), \(b=2\), \(c=-8\). Persamaan termasuk persamaan kuadrat lengkap karena \(b\) dan \(c\) tidak nol.

Cek pemahaman: Apakah \(4x+7=0\) termasuk persamaan kuadrat? Jelaskan berdasarkan pangkat tertinggi variabelnya.

PERTEMUAN 2

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran

1. Ide Dasar Pemfaktoran

Pemfaktoran adalah mengubah bentuk penjumlahan suku aljabar menjadi bentuk perkalian faktor-faktor. Kita menggunakan sifat hasil kali nol:

\[A\times B=0\quad\Rightarrow\quad A=0\ \text{atau}\ B=0\]

Artinya, jika hasil kali dua faktor sama dengan nol, setidaknya salah satu faktornya harus bernilai nol.

2. Langkah Pemfaktoran

2. Langkah-Langkah Pemfaktoran

Pemfaktoran dilakukan dengan mengubah bentuk penjumlahan suku menjadi perkalian beberapa faktor. Agar lebih mudah, kita perlu menemukan pasangan bilangan yang sesuai.

Prinsip dasar mencari faktor

Untuk persamaan kuadrat:

\[ax^2+bx+c=0 \]

Carilah dua bilangan, misalnya \(m\) dan \(n\), yang memenuhi:

\[ \boxed{m\times n=a\times c} \] \[ \boxed{m+n=b} \]

Setelah menemukan kedua bilangan tersebut, pecah suku tengah \(bx\), kemudian lakukan pengelompokan.

3. Cara Menemukan Pasangan Faktor

Perhatikan contoh berikut:

\[x^2-5x+6=0\]

Langkah 1. Tentukan nilai a, b, dan c

\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]

Langkah 2. Kalikan a dengan c

\[ a\times c=1\times6=6 \]

Artinya, kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 6 dan jika dijumlahkan hasilnya -5.

Langkah 3. Buat daftar pasangan faktor dari 6

Pasangan	Hasil kali	Jumlah
1 dan 6	1 × 6 = 6	7
-1 dan -6	(-1) × (-6) = 6	-7
2 dan 3	2 × 3 = 6	5
-2 dan -3	(-2) × (-3) = 6	-5

Pasangan faktor yang tepat adalah -2 dan -3.

Alasannya:

\[ (-2)\times(-3)=6 \] \[ (-2)+(-3)=-5 \]

Langkah 4. Masukkan pasangan faktor ke bentuk pemfaktoran

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Langkah 5. Periksa hasil pemfaktoran

Kalikan kembali kedua faktor:

\[ \begin{aligned} (x-2)(x-3) &=x^2-3x-2x+6\\ &=x^2-5x+6 \end{aligned} \]

Hasil perkalian sama dengan persamaan awal. Jadi, pemfaktoran sudah benar.

4. Contoh Soal dan Pembahasan Detail

Soal: Selesaikan persamaan \(x^2-5x+6=0\) dengan metode pemfaktoran.

Diketahui:

\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]

Ditanya: Akar-akar persamaan.

Pembahasan:

1

Temukan dua bilangan yang hasil kalinya 6 dan jumlahnya -5. Bilangan tersebut adalah -2 dan -3.

2

Bentuk faktor:

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

3

Gunakan sifat hasil kali nol:

\[ x-2=0\quad\text{atau}\quad x-3=0 \]

4

Tentukan masing-masing nilai x:

\[ x-2=0\Rightarrow x=2 \] \[ x-3=0\Rightarrow x=3 \]

Kesimpulan: \[ \boxed{x_1=2,\quad x_2=3} \] Akar-akar persamaan adalah 2 dan 3.

5. Contoh Tambahan: Jika Koefisien a Tidak Sama dengan 1

Metode Pemfaktoran dengan Bentuk Dua Kurung

Selain metode pemisahan suku tengah, persamaan kuadrat dengan koefisien \(a\ne1\) dapat difaktorkan menggunakan bentuk dua kurung.

Rumus pemfaktoran:

\[ \boxed{\frac{(ax+p)(ax+q)}{a}} \]

Dengan syarat:

\[ p+q=b \] \[ p\times q=a\times c \]

Contoh Soal

Selesaikan persamaan:

\[ 2x^2+7x+3=0 \]

Langkah 1. Tentukan nilai a, b, dan c.

\[ a=2,\quad b=7,\quad c=3 \]

Langkah 2. Hitung perkalian a dan c.

\[ a\times c=2\times3=6 \]

Langkah 3. Cari dua bilangan p dan q.

Cari dua bilangan yang hasil kalinya 6 dan jumlahnya 7.

\[ p=1,\quad q=6 \] \[ 1\times6=6 \] \[ 1+6=7 \]

Langkah 4. Masukkan ke bentuk dua kurung.

\[ \frac{(2x+1)(2x+6)}{2}=0 \]

Langkah 5. Sederhanakan.

\[ (2x+1)(x+3)=0 \]

Langkah 6. Tentukan akar-akarnya.

\[ 2x+1=0 \] \[ x_1=-\frac12 \]
\[ x+3=0 \] \[ x_2=-3 \]

Kesimpulan: \[ \boxed{x_1=-\frac12,\quad x_2=-3} \]

Contoh Kedua

Selesaikan:

\[ 3x^2+10x+8=0 \]

Langkah 1. Tentukan koefisien. \[ a=3,\quad b=10,\quad c=8 \] Langkah 2. Kalikan a dan c. \[ 3\times8=24 \] Langkah 3. Cari dua bilangan.

Dua bilangan yang hasil kalinya 24 dan jumlahnya 10 adalah 4 dan 6.

Langkah 4. Masukkan ke bentuk dua kurung.

\[ \frac{(3x+4)(3x+6)}{3}=0 \]

Langkah 5. Sederhanakan.

\[ (3x+4)(x+2)=0 \]

Langkah 6. Tentukan akar-akarnya.

\[ 3x+4=0\Rightarrow x_1=-\frac43 \] \[ x+2=0\Rightarrow x_2=-2 \]

Kesimpulan: \[ \boxed{x_1=-\frac43,\quad x_2=-2} \]

Hal yang perlu diperhatikan:

• Jumlah \(p+q\) harus sama dengan \(b\).
• Hasil kali \(p\times q\) harus sama dengan \(a\times c\).
• Setelah membagi dengan \(a\), sederhanakan faktor dalam kurung.
• Pastikan hasil perkalian kembali menghasilkan persamaan semula.

7. Latihan Mandiri

1. Faktorkan \(x^2-7x+12=0\), kemudian tentukan akar-akarnya.
2. Selesaikan \(x^2+x-12=0\).
3. Selesaikan \(2x^2+7x+3=0\) dengan pemisahan suku tengah.
4. Selesaikan \(3x^2+10x+8=0\) dengan metode pengelompokan.

PERTEMUAN 3

Melengkapkan Kuadrat Sempurna dan Rumus Kuadrat (ABC)

A. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode ini mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu bentuk \((x+p)^2=q\). Untuk koefisien \(x^2\) sama dengan 1, tambahkan kuadrat setengah koefisien \(x\) pada kedua ruas.

\[x^2+bx=\left(x+\frac b2\right)^2-\left(\frac b2\right)^2\]

Contoh 1 — Pembahasan Detail

Soal: Selesaikan \(x^2-6x+5=0\) dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Diketahui: \(a=1,\ b=-6,\ c=5\).

Ditanya: Nilai \(x\).

Pembahasan:

1

Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

\[x^2-6x=-5\]

2

Ambil setengah koefisien \(x\), yaitu \(-6/2=-3\), lalu kuadratkan: \((-3)^2=9\).

3

Tambahkan 9 pada kedua ruas:

\[x^2-6x+9=-5+9\]

4

Ubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna:

\[(x-3)^2=4\]

5

Tarik akar kedua ruas:

\[x-3=\pm2\]

Sehingga \(x=3\pm2\).

Kesimpulan: \(\boxed{x_1=5,\ x_2=1}\).

B. Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Rumus kuadrat dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, termasuk ketika pemfaktoran sulit dilakukan.

\[\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\]

Pastikan persamaan sudah berbentuk \(ax^2+bx+c=0\), kemudian identifikasi nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) beserta tandanya.

Contoh 2 — Pembahasan Detail

Soal: Tentukan akar-akar persamaan \(2x^2-4x-6=0\) menggunakan rumus ABC.

Diketahui: \(a=2,\ b=-4,\ c=-6\).

Ditanya: Akar-akar persamaan.

Pembahasan:

1

Tuliskan rumus kuadrat:

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

2

Substitusikan nilai koefisien:

\[x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(2)(-6)}}{2(2)}\]

3

Sederhanakan bagian dalam akar:

\[x=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{64}}{4}\]

4

Hitung akar kuadrat 64:

\[x=\frac{4\pm8}{4}\]

5

Hitung dua kemungkinan:

\[x_1=\frac{4+8}{4}=3\qquad x_2=\frac{4-8}{4}=-1\]

Kesimpulan: \(\boxed{x_1=3,\ x_2=-1}\).

C. Memilih Metode Penyelesaian

Metode	Cocok digunakan ketika
Pemfaktoran	Faktor persamaan mudah ditemukan.
Melengkapkan kuadrat	Ingin mengubah persamaan ke bentuk kuadrat sempurna.
Rumus ABC	Faktor sulit ditemukan atau ingin metode umum.

Catatan penting: Pada rumus ABC, tanda \(b\) dan \(c\) harus disubstitusikan sesuai persamaan. Kesalahan tanda negatif sering menyebabkan hasil keliru.

D. Latihan Mandiri

1. Selesaikan \(x^2-8x+7=0\) dengan melengkapkan kuadrat.
2. Selesaikan \(3x^2+2x-1=0\) dengan rumus ABC.
3. Selesaikan \(2x^2+3x-2=0\) menggunakan metode yang menurutmu paling tepat.

PERTEMUAN 4

Diskriminan dan Jenis Akar Persamaan Kuadrat

1. Pengertian Diskriminan

Diskriminan adalah nilai yang digunakan untuk mengetahui jenis akar persamaan kuadrat tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu.

\[\boxed{D=b^2-4ac}\]

2. Hubungan Diskriminan dengan Jenis Akar

2. Hubungan Diskriminan dengan Jenis Akar

Diskriminan digunakan untuk mengetahui jenis akar suatu persamaan kuadrat. Nilai diskriminan juga menunjukkan bagaimana grafik fungsi kuadrat berhubungan dengan sumbu-X.

Ingat bentuk umum persamaan kuadrat:

\[ ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0 \]

Nilai diskriminan ditentukan dari koefisien \(a\), \(b\), dan \(c\).

\[ D=b^2-4ac \]

A. Tabel Perbandingan Jenis Akar dan Grafik

Perhatikan ketiga kondisi berikut. Setiap kondisi mempunyai karakteristik akar dan bentuk grafik yang berbeda.

Kondisi	Gambar Grafik	Karakteristik dan Contoh
D > 0	Memotong sumbu-X di dua titik.	Dua akar real berbeda. Mempunyai dua penyelesaian real. Kedua akar mempunyai nilai berbeda. Grafik parabola memotong sumbu-X di dua titik. Contoh: \[ x^2-5x+6=0 \] Diskriminan: \[ D=(-5)^2-4(1)(6)=1 \] Karena \(D=1>0\), terdapat dua akar real berbeda.
D = 0	Menyinggung sumbu-X di satu titik.	Dua akar real kembar. Mempunyai dua akar yang nilainya sama. Kedua akar berada pada satu titik. Grafik parabola menyinggung sumbu-X. Contoh: \[ x^2-4x+4=0 \] Diskriminan: \[ D=(-4)^2-4(1)(4)=0 \] Karena \(D=0\), terdapat dua akar real kembar.
D < 0	Tidak memotong sumbu-X.	Dua akar kompleks konjugat. Tidak mempunyai akar dalam bilangan real. Mempunyai dua akar dalam bilangan kompleks. Kedua akar merupakan pasangan kompleks konjugat. Grafik parabola tidak memotong sumbu-X. Contoh: \[ x^2+2x+5=0 \] Diskriminan: \[ D=2^2-4(1)(5)=-16 \] Karena \(D=-16<0\), akar-akarnya tidak real.

📊 BUKA SIMULASI GRAFIK FUNGSI KUADRAT ↗

B. Pembahasan Menemukan Akar pada Setiap Kondisi

Setelah memahami hubungan diskriminan dengan jenis akar, sekarang kita akan mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dan menghubungkannya dengan grafik fungsi kuadrat.

1. Jika D > 0: Dua Akar Real Berbeda

Contoh soal:

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dan gambarkan grafik fungsinya.

\[ x^2-5x+6=0 \]

Diketahui: \[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \] Ditanya:

• Nilai diskriminan.
• Jenis akar persamaan.
• Akar-akar persamaan.
• Hubungan akar dengan grafik fungsi.

Langkah 1. Hitung diskriminan

Gunakan rumus diskriminan:

\[ D=b^2-4ac \] \[ \begin{aligned} D&=(-5)^2-4(1)(6)\\ &=25-24\\ &=1 \end{aligned} \]

Langkah 2. Tentukan jenis akar

Karena nilai diskriminan positif, yaitu \(D=1>0\), persamaan mempunyai dua akar real yang berbeda.

Langkah 3. Gunakan rumus ABC

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \] \[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt1}{2(1)} \] \[ x=\frac{5\pm1}{2} \]

Langkah 4. Tentukan kedua akar

Akar pertama \[ \begin{aligned} x_1&=\frac{5+1}{2}\\ &=\frac62\\ &=3 \end{aligned} \]

Akar kedua \[ \begin{aligned} x_2&=\frac{5-1}{2}\\ &=\frac42\\ &=2 \end{aligned} \]

Hasil akar: \[ \boxed{x_1=3,\quad x_2=2} \]

Langkah 5. Gambarkan grafik fungsi kuadrat

Persamaan kuadrat di atas dapat ditulis sebagai fungsi:

\[ f(x)=x^2-5x+6 \]

Untuk memahami grafik, perhatikan beberapa titik berikut.

Nilai x	Perhitungan f(x)	Titik (x,y)
0	6	(0,6)
1	2	(1,2)
2	0	(2,0)
2,5	-0,25	(2,5; -0,25)
3	0	(3,0)
4	2	(4,2)

Grafik skematis: parabola terbuka ke atas dan memotong sumbu-X pada titik (2,0) dan (3,0).

Langkah 6. Analisis grafik

• Grafik terbuka ke atas karena \(a=1\) bernilai positif.
• Grafik memotong sumbu-X di dua titik.
• Titik potong sumbu-X adalah \((2,0)\) dan \((3,0)\).
• Kedua titik tersebut sesuai dengan akar \(x=2\) dan \(x=3\).

Kesimpulan:

Karena \(D>0\), persamaan mempunyai dua akar real berbeda. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik.

\[ \boxed{x_1=3,\quad x_2=2} \]

2. Jika D = 0: Dua Akar Real Kembar

Contoh soal:

Tentukan akar-akar persamaan berikut dan gambarkan grafik fungsinya.

\[ x^2-4x+4=0 \]

Diketahui: \[ a=1,\quad b=-4,\quad c=4 \] Ditanya:

• Nilai diskriminan.
• Jenis akar persamaan.
• Akar-akar persamaan.
• Hubungan akar dengan grafik fungsi.

Langkah 1. Hitung diskriminan

\[ D=b^2-4ac \] \[ \begin{aligned} D&=(-4)^2-4(1)(4)\\ &=16-16\\ &=0 \end{aligned} \]

Langkah 2. Tentukan jenis akar

Karena \(D=0\), persamaan mempunyai dua akar real yang nilainya sama atau disebut akar kembar.

Langkah 3. Gunakan rumus ABC

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \] \[ x=\frac{-(-4)\pm\sqrt0}{2(1)} \] \[ x=\frac{4\pm0}{2} \]

Langkah 4. Tentukan akar

\[ x_1=\frac{4+0}{2}=2 \] \[ x_2=\frac{4-0}{2}=2 \]

Hasil akar: \[ \boxed{x_1=x_2=2} \]

Langkah 5. Gambarkan grafik fungsi kuadrat

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai fungsi:

\[ f(x)=x^2-4x+4 \]

Untuk membuat grafik, perhatikan tabel nilai berikut.

Nilai x	Perhitungan f(x)	Titik (x,y)
0	4	(0,4)
1	1	(1,1)
2	0	(2,0)
3	1	(3,1)
4	4	(4,4)

Grafik menyinggung sumbu-X tepat di titik (2,0), tanpa melewati sumbu-X.

Langkah 6. Analisis grafik

• Grafik terbuka ke atas karena \(a=1\) positif.
• Grafik hanya menyinggung sumbu-X pada satu titik.
• Titik singgungnya adalah \((2,0)\).
• Nilai akar \(x=2\) muncul dua kali atau merupakan akar kembar.

Kesimpulan:

Karena \(D=0\), persamaan mempunyai dua akar real kembar. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu-X di satu titik.

\[ \boxed{x_1=x_2=2} \]

3. Jika D < 0: Dua Akar Kompleks Konjugat

Contoh soal:

Tentukan akar-akar persamaan berikut dan gambarkan grafik fungsinya.

\[ x^2+2x+5=0 \]

Diketahui: \[ a=1,\quad b=2,\quad c=5 \] Ditanya:

• Nilai diskriminan.
• Jenis akar persamaan.
• Akar-akar persamaan.
• Hubungan akar dengan grafik fungsi.

Langkah 1. Hitung diskriminan

\[ D=b^2-4ac \] \[ \begin{aligned} D&=2^2-4(1)(5)\\ &=4-20\\ &=-16 \end{aligned} \]

Langkah 2. Tentukan jenis akar

Karena \(D=-16<0\), persamaan tidak mempunyai akar real. Persamaan mempunyai dua akar kompleks konjugat.

Langkah 3. Pahami bilangan imajiner

Bilangan imajiner didefinisikan dengan:

\[ i=\sqrt{-1} \] \[ i^2=-1 \] \[ \sqrt{-16}=\sqrt{16}\times\sqrt{-1}=4i \]

Langkah 4. Gunakan rumus ABC

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \] \[ x=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2(1)} \] \[ x=\frac{-2\pm4i}{2} \]

Langkah 5. Tentukan kedua akar kompleks

Akar pertama \[ \begin{aligned} x_1&=\frac{-2+4i}{2}\\ &=-1+2i \end{aligned} \]

Akar kedua \[ \begin{aligned} x_2&=\frac{-2-4i}{2}\\ &=-1-2i \end{aligned} \]

Hasil akar: \[ \boxed{x_1=-1+2i} \] \[ \boxed{x_2=-1-2i} \]

Langkah 6. Gambarkan grafik fungsi kuadrat

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai fungsi:

\[ f(x)=x^2+2x+5 \]

Untuk membantu menggambar grafik, kita dapat mengubahnya menjadi bentuk kuadrat sempurna:

\[ \begin{aligned} f(x)&=x^2+2x+5\\ &=(x+1)^2+4 \end{aligned} \]

Dari bentuk tersebut dapat diketahui bahwa titik minimum berada di \((-1,4)\).

Nilai x	Perhitungan f(x)	Titik (x,y)
-3	8	(-3,8)
-2	5	(-2,5)
-1	4	(-1,4)
0	5	(0,5)
1	8	(1,8)

Grafik terbuka ke atas dan seluruh bagiannya berada di atas sumbu-X. Titik minimumnya adalah (-1,4).

Langkah 7. Analisis grafik

• Grafik terbuka ke atas karena \(a=1\) positif.
• Titik minimum berada di \((-1,4)\).
• Nilai minimum fungsi adalah 4.
• Grafik tidak memotong atau menyinggung sumbu-X.
• Hal ini sesuai dengan hasil \(D<0\), yaitu tidak ada akar real.

Kesimpulan:

Karena \(D<0\), persamaan tidak mempunyai akar real, tetapi mempunyai dua akar kompleks konjugat. Grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X.

\[ \boxed{x_1=-1+2i,\quad x_2=-1-2i} \]

C. Perbandingan Ketiga Contoh

Karakteristik	D > 0	D = 0	D < 0
Persamaan	\(x^2-5x+6=0\)	\(x^2-4x+4=0\)	\(x^2+2x+5=0\)
Diskriminan	1	0	-16
Jenis akar	Real berbeda	Real kembar	Kompleks konjugat
Akar	2 dan 3	2 dan 2	-1 + 2i dan -1 - 2i
Grafik	Memotong dua titik	Menyinggung satu titik	Tidak memotong

Catatan penting:

Pada kondisi \(D=0\), terdapat dua akar jika dihitung berdasarkan kelipatannya, tetapi hanya satu nilai akar yang berbeda.

Pada kondisi \(D<0\), grafik fungsi kuadrat tidak memiliki titik potong dengan sumbu-X karena tidak terdapat penyelesaian real untuk \(f(x)=0\).

6. Ringkasan Visual Jenis Akar

\(D>0\)

Dua akar real berbeda.

Grafik memotong sumbu-X dua kali.

\(D=0\)

Dua akar real kembar.

Grafik menyinggung sumbu-X.

\(D<0\)

Dua akar kompleks konjugat.

Grafik tidak memotong sumbu-X.

7. Latihan Penalaran

1. Tanpa mencari akar, tentukan jenis akar \(2x^2-4x+2=0\).
2. Tentukan nilai \(m\) agar \(x^2+mx+9=0\) mempunyai akar kembar.
3. Apakah \(x^2+4x+8=0\) mempunyai akar real? Buktikan dengan diskriminan.

Pertanyaan refleksi: Mengapa diskriminan negatif membuat grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X? Jelaskan hubungan antara akar persamaan dan titik potong grafik.

PENGUATAN

Rangkuman Pertemuan 1–4

Pertemuan	Pokok materi	Hal penting
1	Konsep persamaan kuadrat	Bentuk umum dan koefisien \(a,b,c\).
2	Pemfaktoran	Gunakan sifat hasil kali nol.
3	Melengkapkan kuadrat dan rumus ABC	Dua metode untuk menemukan akar.
4	Diskriminan	Menentukan jenis akar melalui nilai \(D\).

Inti pembelajaran:

• Persamaan kuadrat memiliki pangkat tertinggi dua.
• Akar persamaan dapat dicari dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus ABC.
• Diskriminan membantu mengenali jenis akar sebelum akar dihitung.
• Akar real berkaitan dengan titik potong grafik fungsi kuadrat pada sumbu-X.

Asesmen Akhir Materi

1. Tentukan \(a,b,c\) dari \(4x^2-3x-7=0\).
2. Selesaikan \(x^2-9x+20=0\) dengan pemfaktoran.
3. Selesaikan \(x^2-4x-1=0\) dengan rumus ABC.
4. Tentukan diskriminan dan jenis akar \(3x^2+6x+3=0\).
5. Tentukan diskriminan dan akar kompleks \(x^2-2x+5=0\).

Petunjuk: Tuliskan diketahui, ditanya, langkah penyelesaian, dan kesimpulan. Periksa kembali hasil dengan mensubstitusikan akar ke persamaan awal jika memungkinkan.

AKSIOMAMATH

Belajar Matematika dengan Memahami, Mengaplikasi, Menalar, dan Membuktikan.

Materi Matematika SMA/SMK • Persamaan Kuadrat Pertemuan 1–4