Akar Imajiner Persamaan dan Fungsi Kuadrat

AKSIOMAMATH • MATEMATIKA SMK

Menemukan Karakteristik Persamaan dan Fungsi Kuadrat (Akar Imajiner)

Mari menyelidiki mengapa sebuah persamaan kuadrat dapat memiliki akar yang tidak real dan bagaimana karakteristiknya terlihat pada grafik parabola.

⏱ 2 × 45 Menit 🧠 Berpikir Kritis 📚 Materi Aljabar

Tujuan Pemantik Konsep Grafik Aktivitas Evaluasi Refleksi

01 • ORIENTASI

Tujuan Pembelajaran

Setelah mengikuti pembelajaran, peserta didik diharapkan mampu:

1. Mengidentifikasi bentuk umum persamaan kuadrat.
2. Menentukan nilai diskriminan dengan tepat.
3. Menganalisis hubungan diskriminan dengan jenis akar.
4. Menjelaskan karakteristik grafik fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu-X.
5. Menyusun kesimpulan berdasarkan bukti matematis.

Kompetensi utama:

Bernalar kritis, memahami konsep, menerapkan prosedur matematis, dan mengomunikasikan hasil analisis.

02 • MEMAHAMI

Ayo Berpikir!

Perhatikan tiga persamaan berikut.

\[x^2-5x+6=0\] \[x^2-4x+4=0\] \[x^2+2x+5=0\]

Pertanyaan pemantik:

1. Apakah ketiga persamaan mempunyai penyelesaian?
2. Apakah semua penyelesaiannya berupa bilangan real?
3. Mengapa persamaan ketiga berbeda dari dua persamaan lainnya?

Prediksi Anda: Tuliskan dugaan sebelum mempelajari materi berikutnya.

Ingat! Dalam matematika, dugaan harus dapat diperiksa menggunakan bukti atau alasan yang logis.

03 • MEMAHAMI KONSEP

Mengenal Diskriminan

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

\[ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0\]

Dengan:

• a = koefisien \(x^2\)
• b = koefisien \(x\)
• c = konstanta

Rumus Diskriminan

\[\boxed{D=b^2-4ac}\]

Diskriminan digunakan untuk menentukan jenis akar persamaan kuadrat tanpa harus menyelesaikan persamaan secara lengkap.

Hubungan diskriminan dengan jenis akar

Diskriminan	Karakteristik akar
\(D>0\)	Dua akar real berbeda.
\(D=0\)	Dua akar real kembar.
\(D<0\)	Dua akar kompleks konjugat, tidak real.

Fokus pembelajaran: akar imajiner

Jika diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian dalam bilangan real. Akar-akarnya termasuk bilangan kompleks.

Bilangan imajiner satuan dinyatakan dengan:

\[i=\sqrt{-1},\quad i^2=-1\]

Visualisasi Hubungan Diskriminan dengan Jenis Akar

Perhatikan bagaimana nilai diskriminan menentukan jumlah dan jenis akar persamaan kuadrat serta posisi grafik parabola terhadap sumbu-X.

1. Diskriminan Positif (D > 0)

Dua akar real berbeda

Contoh:

\[ x^2-5x+6=0 \] Diketahui: \[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \] Langkah 1. Hitung diskriminan \[ \begin{aligned} D&=b^2-4ac\\ &=(-5)^2-4(1)(6)\\ &=25-24\\ &=1 \end{aligned} \] Karena \(D>0\), terdapat dua akar real berbeda. Langkah 2. Cari akar-akarnya \[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt1}{2} \] \[ x_1=\frac{5+1}{2}=3 \] \[ x_2=\frac{5-1}{2}=2 \]

Kesimpulan: \[ \boxed{x_1=3,\quad x_2=2} \] Grafik memotong sumbu-X di dua titik.

2. Diskriminan Nol (D = 0)

Dua akar real kembar

Contoh:

\[ x^2-4x+4=0 \] Diketahui: \[ a=1,\quad b=-4,\quad c=4 \] Langkah 1. Hitung diskriminan \[ \begin{aligned} D&=b^2-4ac\\ &=(-4)^2-4(1)(4)\\ &=16-16\\ &=0 \end{aligned} \] Karena \(D=0\), terdapat dua akar real yang sama. Langkah 2. Cari akar-akarnya \[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \] \[ x=\frac{4\pm\sqrt0}{2} \] \[ x=\frac{4}{2}=2 \]

Kesimpulan: \[ \boxed{x_1=x_2=2} \] Grafik menyinggung sumbu-X di satu titik.

3. Diskriminan Negatif (D < 0)

Dua akar kompleks konjugat

Contoh:

\[ x^2+2x+5=0 \] Diketahui: \[ a=1,\quad b=2,\quad c=5 \] Langkah 1. Hitung diskriminan \[ \begin{aligned} D&=b^2-4ac\\ &=2^2-4(1)(5)\\ &=4-20\\ &=-16 \end{aligned} \] Karena \(D<0\), persamaan tidak memiliki akar real. Langkah 2. Cari akar kompleksnya \[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \] \[ x=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2} \] Ingat bahwa \(\sqrt{-16}=4i\). \[ x=\frac{-2\pm4i}{2} \] \[ x=-1\pm2i \]

Kesimpulan: \[ \boxed{x_1=-1+2i} \] \[ \boxed{x_2=-1-2i} \] Grafik tidak memotong sumbu-X.

Kesimpulan Hubungan Diskriminan dan Grafik

Nilai D	Jenis Akar	Grafik terhadap sumbu-X
D > 0	Dua akar real berbeda	Memotong di dua titik
D = 0	Dua akar real kembar	Menyinggung di satu titik
D < 0	Dua akar kompleks konjugat	Tidak memotong sumbu-X

Ingat: Untuk menemukan akar-akarnya, hitung diskriminan terlebih dahulu, kemudian gunakan rumus kuadrat.

04 • MENGAPLIKASI

Contoh Penyelesaian

Tentukan jenis akar persamaan berikut:

\[x^2+2x+5=0\]

Diketahui: \[a=1,\quad b=2,\quad c=5\] Ditanya:

Jenis akar persamaan kuadrat.

Dijawab:

Gunakan rumus diskriminan.

\[ \begin{aligned} D&=b^2-4ac\\ &=2^2-4(1)(5)\\ &=4-20\\ &=-16 \end{aligned} \]

Karena \(D<0\), persamaan tidak mempunyai akar real.

Jika akar kompleksnya dihitung:

\[ \begin{aligned} x&=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\ &=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}\\ &=\frac{-2\pm4i}{2}\\ &=-1\pm2i \end{aligned} \]

Kesimpulan: \[ \boxed{x_1=-1+2i,\quad x_2=-1-2i} \] Persamaan memiliki dua akar kompleks konjugat dan tidak memiliki akar real.

05 • EKSPLORASI

Bagaimana Bentuk Grafiknya?

Persamaan kuadrat dapat dikaitkan dengan grafik fungsi kuadrat:

\[f(x)=ax^2+bx+c\]

Perhatikan dua grafik berikut.

Grafik A: Terbuka ke atas

\(f(x)=x^2+2x+5\)

Grafik berada di atas sumbu-X dan tidak memotongnya.

Grafik B: Terbuka ke bawah

\(f(x)=-x^2+2x-5\)

Grafik berada di bawah sumbu-X dan tidak memotongnya.

Temukan pola!

Jika \(D<0\), maka:

• Jika \(a>0\), grafik selalu di atas sumbu-X.
• Jika \(a<0\), grafik selalu di bawah sumbu-X.

Nilai fungsi di titik puncak dapat dinyatakan:

\[y_p=-\frac{D}{4a}\]

Catatan: kedua grafik merupakan ilustrasi bentuk parabola, bukan plot berskala koordinat yang presisi.

06 • BERPIKIR KRITIS

Ayo Selidiki dan Buktikan!

Kasus 1 — Menguji pendapat

Diketahui:

\[f(x)=2x^2-4x+7\]

Andi menyatakan grafik memotong sumbu-X karena semua fungsi kuadrat memiliki titik potong dengan sumbu-X.

Budi menyatakan grafik tidak memotong sumbu-X karena diskriminannya negatif.

Pertanyaan: Siapa yang benar? Buktikan menggunakan perhitungan diskriminan.

Kasus 2 — Menemukan syarat

Diketahui fungsi:

\[f(x)=ax^2+4x+5\]

Tentukan nilai \(a\) agar fungsi tidak memiliki akar real.

Petunjuk: Gunakan syarat \(D<0\), kemudian selesaikan pertidaksamaannya.

Kasus 3 — Tantangan penalaran

Apakah mungkin sebuah fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X tetapi mempunyai nilai fungsi positif untuk setiap bilangan real?

Berikan satu contoh fungsi dan jelaskan alasan matematisnya.

Latihan cepat: Periksa pemahamanmu

Persamaan yang mempunyai akar tidak real adalah ...

A. x² − 5x + 6 = 0
B. x² − 4x + 4 = 0
C. x² + 2x + 5 = 0
D. x² − 3x + 2 = 0
E. x² + 5x + 6 = 0

07 • PENGUATAN

Rangkuman Materi

Konsep	Kesimpulan
Bentuk umum	\(ax^2+bx+c=0\)
Diskriminan	\(D=b^2-4ac\)
D positif	Dua akar real berbeda
D nol	Dua akar real kembar
D negatif	Dua akar kompleks konjugat
a positif, D negatif	Grafik di atas sumbu-X
a negatif, D negatif	Grafik di bawah sumbu-X

08 • ASESMEN

Evaluasi Pembelajaran

Setelah memahami materi dan menyelesaikan aktivitas, kerjakan evaluasi berikut secara mandiri.

Petunjuk pengerjaan:

1. Isi identitas dengan benar.
2. Bacalah setiap pertanyaan dengan teliti.
3. Kerjakan soal secara mandiri.
4. Untuk soal penalaran, sertakan alasan matematis.
5. Kirim jawaban setelah selesai.

MULAI MENGERJAKAN ASESMEN

09 • MEREFLEKSI

Refleksi Pembelajaran

Sebelum mengakhiri pembelajaran, renungkan pertanyaan berikut:

1. Apa konsep baru yang saya pahami hari ini?
2. Mengapa diskriminan negatif menyebabkan tidak adanya akar real?
3. Bagaimana hubungan jenis akar dengan grafik parabola?
4. Bagian mana yang masih perlu saya pelajari kembali?

Pesan pembelajaran:

Matematika bukan hanya tentang memperoleh jawaban, tetapi juga tentang menemukan alasan, menguji dugaan, dan membuktikan kesimpulan.

AKSIOMAMATH

Belajar Matematika dengan Memahami, Menalar, dan Membuktikan.

Materi pembelajaran Matematika SMA/SMK