Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Diposting oleh

📊 Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Matematika SMK – Jurusan Kecantikan

🎯 Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, peserta didik mampu:

  • Menjelaskan pengertian daerah penyelesaian.
  • Menentukan garis batas suatu pertidaksamaan.
  • Menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
  • Menggambar grafik pertidaksamaan linear dua variabel.
  • Menentukan daerah penyelesaian menggunakan titik uji.
  • Menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan.
  • Menerapkan konsep pada masalah bidang kecantikan.

1. 📚 Pengertian Daerah Penyelesaian

Daerah penyelesaian adalah kumpulan titik pada bidang koordinat yang memenuhi suatu pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan.

Misalnya:

\[ 3x+2y\leq24 \]

Semua pasangan \((x,y)\) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut merupakan bagian dari daerah penyelesaian.

2. 📈 Bentuk Grafik Pertidaksamaan

Untuk menggambar grafik pertidaksamaan, pertama-tama ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan.

Misalnya:

\[ 3x+2y\leq24 \]

Garis batasnya adalah:

\[ 3x+2y=24 \]

Garis tersebut menjadi batas antara daerah yang memenuhi pertidaksamaan dan daerah yang tidak memenuhi.

3. ✏️ Menentukan Titik Potong Sumbu X

Untuk menentukan titik potong dengan sumbu X, gunakan:

\[ y=0 \]

Misalnya:

\[ 3x+2y=24 \]

Substitusikan:

\[ 3x+2(0)=24 \]
\[ 3x=24 \]
\[ x=8 \]

Jadi titik potong sumbu X adalah:

\[ (8,0) \]

4. ✏️ Menentukan Titik Potong Sumbu Y

Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y, gunakan:

\[ x=0 \]

Substitusikan ke:

\[ 3x+2y=24 \]
\[ 3(0)+2y=24 \]
\[ 2y=24 \]
\[ y=12 \]

Jadi titik potong sumbu Y adalah:

\[ (0,12) \]

5. 📌 Menggambar Garis Batas

Dari perhitungan sebelumnya diperoleh dua titik:

\[ (8,0) \]
\[ (0,12) \]

Hubungkan kedua titik tersebut untuk membentuk garis:

\[ 3x+2y=24 \]

⚠️ Perhatikan Jenis Garis

Jika pertidaksamaan menggunakan:

\[ \leq \]

atau:

\[ \geq \]

maka garis batas digambar sebagai garis penuh.

Jika pertidaksamaan menggunakan:

\[ < \]

atau:

\[ > \]

maka garis batas digambar sebagai garis putus-putus.

Tanda Garis Batas
\(\leq\) Garis penuh
\(\geq\) Garis penuh
\(<\) Garis putus-putus
\(>\) Garis putus-putus

6. 🧠 Menentukan Daerah Penyelesaian dengan Titik Uji

Setelah menggambar garis batas, kita harus menentukan sisi mana yang merupakan daerah penyelesaian.

Gunakan titik uji yang mudah, misalnya:

\[ (0,0) \]

Uji titik tersebut pada:

\[ 3x+2y\leq24 \]

Substitusikan:

\[ 3(0)+2(0)\leq24 \]
\[ 0\leq24 \]

Pernyataan tersebut benar.

Jadi daerah yang memuat titik:

\[ (0,0) \]

merupakan daerah penyelesaian.

7. 💄 Contoh Kontekstual Jurusan Kecantikan

Sebuah salon mempunyai waktu pelayanan maksimal 480 menit.

Layanan make-up membutuhkan 60 menit, sedangkan hair styling membutuhkan 40 menit.

Misalkan:

\[ x=\text{jumlah pelanggan make-up} \]
\[ y=\text{jumlah pelanggan hair styling} \]

Model matematikanya adalah:

\[ 60x+40y\leq480 \]

Sederhanakan:

\[ 3x+2y\leq24 \]

dengan:

\[ x\geq0 \]
\[ y\geq0 \]

🔹 Langkah 1 – Garis Batas

\[ 3x+2y=24 \]

🔹 Langkah 2 – Titik Potong Sumbu X

\[ y=0 \]
\[ 3x=24 \]
\[ x=8 \]

Titik:

\[ (8,0) \]

🔹 Langkah 3 – Titik Potong Sumbu Y

\[ x=0 \]
\[ 2y=24 \]
\[ y=12 \]

Titik:

\[ (0,12) \]

🔹 Langkah 4 – Titik Uji

Gunakan:

\[ (0,0) \]

Substitusi:

\[ 3(0)+2(0)\leq24 \]
\[ 0\leq24 \]

Benar.

Jadi daerah yang memuat titik \((0,0)\) merupakan daerah penyelesaian.

8. 🤝 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Jika terdapat lebih dari satu batasan, semua pertidaksamaan harus dipenuhi secara bersamaan.

Misalnya:

\[ 2x+y\leq20 \]
\[ x+2y\leq16 \]
\[ x\geq0 \]
\[ y\geq0 \]

Daerah penyelesaian adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan tersebut.

9. 🧴 Contoh Persediaan Bahan Kosmetik

Sebuah kelompok siswa membuat Paket Facial dan Paket Masker.

Paket Facial membutuhkan:

  • 2 satuan bahan A
  • 1 satuan bahan B

Paket Masker membutuhkan:

  • 1 satuan bahan A
  • 2 satuan bahan B

Persediaan bahan A adalah 20 satuan dan bahan B adalah 16 satuan.

Variabel

\[ x=\text{jumlah Paket Facial} \]
\[ y=\text{jumlah Paket Masker} \]

Pertidaksamaan Bahan A

\[ 2x+y\leq20 \]

Pertidaksamaan Bahan B

\[ x+2y\leq16 \]

Syarat Nonnegatif

\[ x\geq0 \]
\[ y\geq0 \]

✅ Sistem Pertidaksamaan

\[ \boxed{ \begin{aligned} 2x+y&\leq20\\ x+2y&\leq16\\ x&\geq0\\ y&\geq0 \end{aligned} } \]

10. 🪜 Langkah Menentukan Daerah Penyelesaian

Langkah 1

Tuliskan sistem pertidaksamaan.

⬇️

Langkah 2

Ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan untuk memperoleh garis batas.

⬇️

Langkah 3

Tentukan titik potong sumbu X.

⬇️

Langkah 4

Tentukan titik potong sumbu Y.

⬇️

Langkah 5

Gambarkan garis batas.

⬇️

Langkah 6

Gunakan titik uji.

⬇️

Langkah 7

Tentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan.

⬇️

Langkah 8

Untuk sistem pertidaksamaan, ambil daerah yang merupakan irisan semua daerah penyelesaian.

11. 🧠 Cara Cepat Mengingat

SAMA DENGAN → GARIS BATAS

TITIK POTONG → GAMBAR GARIS

TITIK UJI → PILIH DAERAH

SEMUA PERTIDAKSAMAAN → CARI IRISANNYA

12. 📝 Latihan Pemahaman

Soal 1

Tentukan garis batas dari:

\[ 2x+3y\leq12 \]

Tuliskan persamaan garis batas:

\[ ................................ \]

Tentukan titik potong sumbu X:

\[ ................................ \]

Tentukan titik potong sumbu Y:

\[ ................................ \]

Soal 2

Tentukan apakah titik \((2,3)\) memenuhi:

\[ 2x+y\leq10 \]

Perhitungan:

\[ 2(2)+3 \]
\[ =................................ \]

Kesimpulan:

☐ Memenuhi

☐ Tidak memenuhi

Soal 3

Tentukan daerah penyelesaian dari:

\[ x+y\leq8 \]
\[ x\geq0 \]
\[ y\geq0 \]

Tuliskan titik potong garis:

\[ (........,........) \]
\[ (........,........) \]

13. 💄 Latihan Kontekstual Kecantikan

Sebuah kelompok siswa akan membuat dua jenis produk kecantikan, yaitu lip balm dan masker wajah.

Satu lip balm membutuhkan 2 satuan bahan A dan 1 satuan bahan B.

Satu masker membutuhkan 1 satuan bahan A dan 2 satuan bahan B.

Persediaan bahan A sebanyak 18 satuan dan bahan B sebanyak 16 satuan.

Misalkan:

\[ x=\text{jumlah lip balm} \]
\[ y=\text{jumlah masker} \]

Tugas:

  1. Buat sistem pertidaksamaan.
  2. Tentukan garis batas masing-masing.
  3. Tentukan titik potong setiap garis.
  4. Gambarkan grafik pada buku.
  5. Tentukan daerah penyelesaian.

14. 🤝 Aktivitas Gotong Royong

Bentuk kelompok beranggotakan 3–4 orang.

Setiap anggota mempunyai tugas:

  • Anggota 1: menentukan variabel.
  • Anggota 2: menyusun pertidaksamaan.
  • Anggota 3: menentukan titik potong.
  • Anggota 4: menggambar grafik dan memeriksa jawaban.

Setelah selesai, bandingkan hasil pekerjaan dan sepakati satu jawaban kelompok.

15. 📌 Rangkuman

Untuk menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel, lakukan langkah berikut:

\[ \text{Pertidaksamaan} \]
\[ \downarrow \]
\[ \text{Garis batas} \]
\[ \downarrow \]
\[ \text{Titik potong} \]
\[ \downarrow \]
\[ \text{Gambar grafik} \]
\[ \downarrow \]
\[ \text{Titik uji} \]
\[ \downarrow \]
\[ \boxed{\text{Daerah Penyelesaian}} \]

Jika terdapat beberapa pertidaksamaan, daerah penyelesaian adalah irisan dari seluruh daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

💄 Matematika dalam Dunia Kecantikan

Dengan memahami daerah penyelesaian, siswa dapat menentukan kombinasi jumlah produk atau layanan yang masih memenuhi batas waktu, bahan, dan biaya.

🤝 Kerjakan dengan teliti, diskusikan dengan teman, dan saling memeriksa hasil pekerjaan.

```

Komentar

Posting Komentar