Latihan Soal Bilangan Berpangkat, Bentuk Akar, dan Logaritma SMA/SMK
Kumpulan latihan Matematika SMA/SMK lengkap dengan pilihan ganda, tombol cek jawaban, dan pembahasan langkah demi langkah.
Petunjuk:
Pilih jawaban yang menurut kamu benar, kemudian tekan
“Cek Jawaban”. Setelah itu tekan
“Lihat Pembahasan” untuk melihat diketahui,
ditanya, rumus, dan langkah-langkah penyelesaian.
📘 A. Pilihan Ganda
1. Bilangan Berpangkat
Hasil dari
\[
(2^3)^4\cdot(2^3)^{-6}
\]
adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ (2^3)^4\cdot(2^3)^{-6} \]Ditanya:
Hasil operasi bilangan berpangkat.
Langkah penyelesaian:
\[ (2^3)^4=2^{12} \] \[ (2^3)^{-6}=2^{-18} \] \[ 2^{12}\cdot2^{-18} = 2^{12-18} \] \[ =2^{-6} \] \[ =\frac{1}{2^6} \] \[ \boxed{\frac{1}{64}} \]2. Persamaan Eksponen
Nilai \(x\) yang memenuhi
\[ 3^{2x-1}=27^{x+1} \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ 3^{2x-1}=27^{x+1} \]Ditanya: \(x\).
Langkah penyelesaian:
Karena \[ 27=3^3 \] maka \[ 3^{2x-1} = (3^3)^{x+1} \] \[ 3^{2x-1} = 3^{3x+3} \] Basis sama, sehingga pangkatnya sama: \[ 2x-1=3x+3 \] \[ -x=4 \] \[ \boxed{x=-4} \]3. Operasi Bilangan Berpangkat
Jika \(a=16\) dan \(b=81\), nilai dari
\[ 2(a^{-\frac12})\cdot3(b^{-\frac14}) \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ a=16,\qquad b=81 \]Ditanya:
\[ 2(a^{-\frac12})\cdot3(b^{-\frac14}) \]Langkah penyelesaian:
\[ 2(16^{-\frac12})\cdot3(81^{-\frac14}) \] \[ =2\left(\frac1{\sqrt{16}}\right) \cdot3\left(\frac1{\sqrt[4]{81}}\right) \] \[ =2\left(\frac14\right) \cdot3\left(\frac13\right) \] \[ =\frac12\cdot1 \] \[ \boxed{\frac12} \]4. Operasi Pangkat Pecahan
Hasil dari
\[ 16^{-\frac34}\cdot25^{\frac12}\cdot \frac{1}{125^{\frac13}} \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ 16^{-\frac34}\cdot25^{\frac12}\cdot \frac{1}{125^{\frac13}} \]Ditanya: Hasil.
Langkah penyelesaian:
\[ 16^{-\frac34} = \frac1{16^{\frac34}} = \frac18 \] \[ 25^{\frac12}=5 \] \[ 125^{\frac13}=5 \] Maka \[ \frac18\cdot5\cdot\frac15 \] \[ =\boxed{\frac18} \]5. Bentuk Pangkat Sederhana
Bentuk sederhana dari
\[ \frac{p^{\frac34}\sqrt[4]{q^5}}{pq} \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ \frac{p^{\frac34}\sqrt[4]{q^5}}{pq} \]Ditanya: Bentuk sederhana.
Langkah penyelesaian:
\[ \sqrt[4]{q^5}=q^{\frac54} \] Sehingga \[ \frac{p^{\frac34}q^{\frac54}} {p^1q^1} \] \[ =p^{\frac34-1}q^{\frac54-1} \] \[ =p^{-\frac14}q^{\frac14} \] \[ \boxed{p^{-\frac14}q^{\frac14}} \]6. Sifat Bilangan Berpangkat
Pernyataan berikut yang tidak benar adalah ....
Pembahasan
Diketahui: Beberapa sifat bilangan berpangkat.
Ditanya: Pernyataan yang tidak benar.
Langkah penyelesaian:
Penjumlahan bilangan berpangkat tidak dapat dilakukan dengan menjumlahkan pangkat.
\[ a^p+a^q\ne a^{p+q} \] Jadi pernyataan yang salah adalah: \[ \boxed{E} \]7. Bentuk Akar
Bentuk sederhana dari
\[ 5\sqrt3+2\sqrt{12}-\sqrt{27} \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ 5\sqrt3+2\sqrt{12}-\sqrt{27} \]Ditanya: Bentuk sederhana.
Langkah penyelesaian:
\[ \sqrt{12}=2\sqrt3 \] \[ \sqrt{27}=3\sqrt3 \] Maka \[ 5\sqrt3+2(2\sqrt3)-3\sqrt3 \] \[ =5\sqrt3+4\sqrt3-3\sqrt3 \] \[ =6\sqrt3 \] \[ \boxed{6\sqrt3} \]8. Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk sederhana dari
\[ \frac{6}{\sqrt6+\sqrt3} \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ \frac6{\sqrt6+\sqrt3} \]Ditanya: Bentuk rasional.
Langkah penyelesaian:
Kalikan dengan bentuk sekawan: \[ \frac6{\sqrt6+\sqrt3} \cdot \frac{\sqrt6-\sqrt3}{\sqrt6-\sqrt3} \] \[ = \frac{6(\sqrt6-\sqrt3)} {6-3} \] \[ = 2(\sqrt6-\sqrt3) \] \[ \boxed{2\sqrt6-2\sqrt3} \]9. Perkalian Bentuk Akar
Bentuk sederhana dari
\[ (2\sqrt5+3\sqrt2)(2\sqrt5-3\sqrt2) \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ (2\sqrt5+3\sqrt2)(2\sqrt5-3\sqrt2) \]Ditanya: Hasil.
Langkah penyelesaian:
Gunakan \[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \] Sehingga \[ (2\sqrt5)^2-(3\sqrt2)^2 \] \[ =20-18 \] \[ =\boxed2 \]10. Pangkat Negatif
Bentuk sederhana dari
\[ (x^{-1}+y^{-1})^{-1} \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ (x^{-1}+y^{-1})^{-1} \]Ditanya: Bentuk sederhana.
Langkah penyelesaian:
\[ x^{-1}+y^{-1} = \frac1x+\frac1y \] \[ = \frac{y+x}{xy} \] Karena berpangkat \(-1\), pecahan dibalik: \[ \left(\frac{x+y}{xy}\right)^{-1} = \frac{xy}{x+y} \] \[ \boxed{\frac{xy}{x+y}} \]11. Operasi Logaritma
Nilai dari
\[ {}^2\log32+ {}^2\log\sqrt{\frac1{64}} - {}^2\log4 \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ {}^2\log32+ {}^2\log\sqrt{\frac1{64}} - {}^2\log4 \]Ditanya: Nilai.
Langkah penyelesaian:
\[ {}^2\log32=5 \] \[ \sqrt{\frac1{64}}=\frac18 \] \[ {}^2\log\frac18=-3 \] dan \[ {}^2\log4=2 \] Maka \[ 5+(-3)-2 \] \[ =\boxed0 \]12. Logaritma dalam \(p\) dan \(q\)
Jika
\[ {}^2\log5=p \] dan \[ {}^2\log3=q \]maka nilai
\[ {}^2\log45 \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ {}^2\log5=p \] \[ {}^2\log3=q \]Ditanya:
\[ {}^2\log45 \]Langkah penyelesaian:
\[ 45=5\cdot3^2 \] Maka \[ {}^2\log45 = {}^2\log5+ {}^2\log3^2 \] \[ =p+2q \] \[ \boxed{p+2q} \]13. Persamaan Logaritma
Jika
\[ {}^5\log x=-2 \]maka nilai \(x\) adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ {}^5\log x=-2 \]Ditanya: \(x\).
Langkah penyelesaian:
Gunakan definisi logaritma: \[ x=5^{-2} \] \[ x=\frac1{5^2} \] \[ \boxed{x=\frac1{25}} \]14. Operasi Logaritma Berantai
Nilai dari
\[ {}^2\log3\cdot {}^3\log5\cdot {}^5\log7\cdot {}^7\log8 \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ {}^2\log3\cdot {}^3\log5\cdot {}^5\log7\cdot {}^7\log8 \]Ditanya: Nilai.
Langkah penyelesaian:
Gunakan sifat: \[ {}^a\log b\cdot{}^b\log c = {}^a\log c \] Maka \[ {}^2\log8 \] Karena \[ 8=2^3 \] maka \[ {}^2\log8=3 \] \[ \boxed3 \]15. Perubahan Basis Logaritma
Jika
\[ {}^4\log5=a \]maka nilai
\[ {}^{16}\log\sqrt5 \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ {}^4\log5=a \]Ditanya:
\[ {}^{16}\log\sqrt5 \]Langkah penyelesaian:
\[ {}^4\log5 = \frac{\log5}{\log4} =a \] Sehingga \[ \frac{\log5}{2\log2}=a \] maka \[ \frac{\log5}{\log2}=2a \] Selanjutnya, \[ {}^{16}\log\sqrt5 = \frac{\frac12\log5}{\log16} \] \[ = \frac{\frac12\log5}{4\log2} \] \[ = \frac18\frac{\log5}{\log2} \] \[ = \frac18(2a) \] \[ =\boxed{\frac14a} \]16. Menggunakan Nilai Logaritma
Jika
\[ \log2=0,301 \] dan \[ \log5=0,699 \]maka nilai \(\log40\) adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ \log2=0,301 \] \[ \log5=0,699 \]Ditanya: \(\log40\).
Langkah penyelesaian:
\[ 40=8\cdot5=2^3\cdot5 \] Maka \[ \log40 = 3\log2+\log5 \] \[ =3(0,301)+0,699 \] \[ =0,903+0,699 \] \[ =\boxed{1,602} \]17. Penyederhanaan Logaritma
Bentuk sederhana dari
\[ \frac{ \log(3\sqrt3)+\log\sqrt2+\log2 } {\log6} \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ \frac{ \log(3\sqrt3)+\log\sqrt2+\log2 } {\log6} \]Ditanya: Nilai.
Langkah penyelesaian:
Gabungkan logaritma: \[ = \frac{\log(3\sqrt3\cdot\sqrt2\cdot2)} {\log6} \] \[ = \frac{\log(6\sqrt6)} {\log6} \] Karena \[ 6\sqrt6=6^{\frac32} \] maka \[ \frac{\log6^{\frac32}}{\log6} = \frac32 \] \[ \boxed{\frac32} \]18. Logaritma Bilangan Desimal Berulang
Jika
\[ p=0,3333\ldots \]maka nilai
\[ {}^3\log p \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ p=0,3333\ldots \]Ditanya:
\[ {}^3\log p \]Langkah penyelesaian:
\[ 0,3333\ldots=\frac13 \] Maka \[ {}^3\log p = {}^3\log\frac13 \] \[ = {}^3\log3^{-1} \] \[ =-1 \] \[ \boxed{-1} \]19. Sifat Logaritma
Nilai dari
\[ \frac{{}^a\log16+{}^a\log81} {{}^a\log36} \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ \frac{{}^a\log16+{}^a\log81} {{}^a\log36} \]Ditanya: Nilai.
Langkah penyelesaian:
Gunakan sifat \[ {}^a\log x+{}^a\log y = {}^a\log(xy) \] Maka \[ = \frac{{}^a\log(16\cdot81)} {{}^a\log36} \] \[ 16\cdot81=1296 \] dan \[ 1296=36^2 \] Sehingga \[ \frac{{}^a\log36^2} {{}^a\log36} = 2 \] \[ \boxed2 \]20. Logaritma dalam \(a\) dan \(b\)
Jika
\[ \log3=a \] dan \[ \log2=b \]maka nilai
\[ \log\frac{27}{4} \]adalah ....
Pembahasan
Diketahui:
\[ \log3=a \] \[ \log2=b \]Ditanya:
\[ \log\frac{27}{4} \]Langkah penyelesaian:
\[ \log\frac{27}{4} = \log27-\log4 \] \[ =\log3^3-\log2^2 \] \[ =3\log3-2\log2 \] \[ =3a-2b \] \[ \boxed{3a-2b} \]✏️ B. Soal Uraian
1. Sederhanakan dan tentukan nilai dari bentuk berikut.
a.
\[ 81^{\frac34} \cdot \left(\frac13\right)^{-2} \cdot 16^{-\frac14} \]b.
\[ 3\sqrt{12} +2\sqrt{27} -4\sqrt{75} +5\sqrt{48} -2\sqrt{108} \]c.
\[ {}^{\frac19}\log\frac13 \cdot {}^{27}\log81 \cdot {}^{\frac17}\log\frac1{49} \]Pembahasan
a. Diketahui:
\[ 81^{\frac34} \left(\frac13\right)^{-2} 16^{-\frac14} \]Ditanya: Hasil.
Langkah penyelesaian:
\[ 81^{\frac34}=27 \] \[ \left(\frac13\right)^{-2}=9 \] \[ 16^{-\frac14}=\frac12 \] Sehingga \[ 27\cdot9\cdot\frac12 \] \[ =\boxed{\frac{243}{2}} \]b. Diketahui:
\[ 3\sqrt{12} +2\sqrt{27} -4\sqrt{75} +5\sqrt{48} -2\sqrt{108} \]Ditanya: Bentuk sederhana.
Langkah penyelesaian:
\[ \sqrt{12}=2\sqrt3 \] \[ \sqrt{27}=3\sqrt3 \] \[ \sqrt{75}=5\sqrt3 \] \[ \sqrt{48}=4\sqrt3 \] \[ \sqrt{108}=6\sqrt3 \] Maka \[ 6\sqrt3+6\sqrt3-20\sqrt3 +20\sqrt3-12\sqrt3 \] \[ =0 \] \[ \boxed0 \]c. Diketahui:
\[ {}^{\frac19}\log\frac13 \cdot {}^{27}\log81 \cdot {}^{\frac17}\log\frac1{49} \]Ditanya: Nilai.
Langkah penyelesaian:
\[ {}^{\frac19}\log\frac13 = \frac12 \] karena \[ \left(\frac19\right)^{\frac12} = \frac13 \] Selanjutnya, \[ {}^{27}\log81 = \frac43 \] dan \[ {}^{\frac17}\log\frac1{49}=2 \] Maka \[ \frac12\cdot\frac43\cdot2 \] \[ =\boxed{\frac43} \]2. Logaritma dalam \(p\) dan \(q\)
Jika
\[ {}^2\log7=p \] dan \[ {}^3\log7=q \]nyatakan
\[ {}^{21}\log63 \]dalam \(p\) dan \(q\).
Pembahasan
Diketahui:
\[ {}^2\log7=p \] \[ {}^3\log7=q \]Ditanya:
\[ {}^{21}\log63 \]Langkah penyelesaian:
Gunakan perubahan basis: \[ {}^{21}\log63 = \frac{\log63}{\log21} \] Karena \[ 63=3^2\cdot7 \] maka \[ \log63=2\log3+\log7 \] Sedangkan \[ 21=3\cdot7 \] sehingga \[ \log21=\log3+\log7 \] Dari \[ {}^3\log7=q \] diperoleh \[ \frac{\log7}{\log3}=q \] sehingga \[ \log7=q\log3 \] Maka \[ \frac{2\log3+q\log3} {\log3+q\log3} \] \[ = \frac{2+q}{1+q} \] Jadi \[ \boxed{\frac{q+2}{q+1}} \]3. Faktorisasi Bilangan Berpangkat
Tentukan nilai \(a,b,c,\) dan \(d\) dari
\[ \frac{(24^2)^3\cdot36^4} {18^5\cdot54^2\cdot72^2} = 2^a\cdot3^b\cdot5^c\cdot7^d \]Pembahasan
Diketahui:
\[ \frac{(24^2)^3\cdot36^4} {18^5\cdot54^2\cdot72^2} = 2^a3^b5^c7^d \]Ditanya: \(a,b,c,d\).
Langkah penyelesaian:
Ubah semua bilangan menjadi faktor prima. \[ 24=2^3\cdot3 \] maka \[ (24^2)^3=24^6 =2^{18}3^6 \] Selanjutnya \[ 36^4=2^8 3^8 \] Penyebut: \[ 18^5=2^5 3^{10} \] \[ 54^2=2^2 3^6 \] \[ 72^2=2^6 3^4 \] Maka pembilang: \[ 2^{18+8}3^{6+8} = 2^{26}3^{14} \] Penyebut: \[ 2^{5+2+6}3^{10+6+4} = 2^{13}3^{20} \] Sehingga \[ 2^{26-13}3^{14-20} \] \[ =2^{13}3^{-6} \] Jadi \[ \boxed{a=13} \] \[ \boxed{b=-6} \] \[ \boxed{c=0} \] \[ \boxed{d=0} \]4. Rasionalkan bentuk berikut.
a.
\[ \frac6{\sqrt3+\sqrt2} \]b.
\[ \frac{\sqrt3+\sqrt7} {\sqrt3-\sqrt7} \]Pembahasan
a. Diketahui:
\[ \frac6{\sqrt3+\sqrt2} \]Ditanya: Bentuk rasional.
Langkah penyelesaian:
Kalikan dengan bentuk sekawan: \[ \frac6{\sqrt3+\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt3-\sqrt2} {\sqrt3-\sqrt2} \] \[ = \frac{6(\sqrt3-\sqrt2)} {3-2} \] \[ =\boxed{6\sqrt3-6\sqrt2} \]b. Diketahui:
\[ \frac{\sqrt3+\sqrt7} {\sqrt3-\sqrt7} \]Ditanya: Bentuk rasional.
Langkah penyelesaian:
Kalikan dengan sekawan penyebut: \[ \frac{\sqrt3+\sqrt7} {\sqrt3-\sqrt7} \cdot \frac{\sqrt3+\sqrt7} {\sqrt3+\sqrt7} \] \[ = \frac{(\sqrt3+\sqrt7)^2} {3-7} \] \[ = \frac{3+2\sqrt{21}+7} {-4} \] \[ = -\frac{10+2\sqrt{21}}4 \] \[ = \boxed{-\frac{5+\sqrt{21}}2} \]5. Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menentukan nilai berikut.
a.
\[ {}^2\log32+ {}^2\log\sqrt8- {}^2\log\frac1{16} \]b.
\[ \frac{ \log(2\sqrt2)+ \log(3\sqrt3) } {\log6} \]Pembahasan
a. Diketahui:
\[ {}^2\log32+ {}^2\log\sqrt8- {}^2\log\frac1{16} \]Ditanya: Nilai.
Langkah penyelesaian:
\[ {}^2\log32=5 \] \[ \sqrt8=2^{\frac32} \] maka \[ {}^2\log\sqrt8=\frac32 \] Selanjutnya, \[ \frac1{16}=2^{-4} \] sehingga \[ {}^2\log\frac1{16}=-4 \] Maka \[ 5+\frac32-(-4) \] \[ =9+\frac12 \] \[ =\boxed{\frac{21}{2}} \]b. Diketahui:
\[ \frac{ \log(2\sqrt2)+ \log(3\sqrt3) } {\log6} \]Ditanya: Nilai.
Langkah penyelesaian:
Gunakan sifat: \[ \log a+\log b=\log(ab) \] Maka \[ = \frac{\log(2\sqrt2\cdot3\sqrt3)} {\log6} \] \[ = \frac{\log(6\sqrt6)} {\log6} \] Karena \[ 6\sqrt6=6^{\frac32} \] maka \[ = \frac{\log6^{\frac32}} {\log6} \] \[ =\boxed{\frac32} \]
Komentar
Posting Komentar