Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Panduan menentukan titik potong sumbu X, titik potong sumbu Y, titik potong dua garis, serta menggambar daerah penyelesaian.

1. Pengertian

Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah kumpulan semua pasangan \((x,y)\) yang memenuhi seluruh pertidaksamaan dalam sistem secara bersamaan.

Bentuk umum yang sering dijumpai adalah:

\[ \begin{cases} ax+by\leq c\\ dx+ey\leq f\\ 0\leq x\leq g\\ 0\leq y\leq h \end{cases} \]

Dua pertidaksamaan pertama menghasilkan dua garis pembatas, sedangkan \(0\leq x\leq g\) dan \(0\leq y\leq h\) memberikan batas wilayah pada bidang koordinat kartesius.

2. Langkah Penyelesaian

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian, kita perlu:

• Mengubah tanda pertidaksamaan menjadi persamaan garis.
• Menentukan titik potong masing-masing garis dengan sumbu X.
• Menentukan titik potong masing-masing garis dengan sumbu Y.
• Menentukan titik potong persekutuan antara dua garis.
• Menggambar garis pada bidang koordinat.
• Melakukan uji titik (biasanya menggunakan titik \((0,0)\)) untuk menentukan arah arsiran.
• Mencari daerah irisan yang memenuhi semua kondisi.

3. Tips Penting Menjawab Soal

• Jika tanda pertidaksamaan menggunakan \(\leq\) atau \(\geq\), garis pembatas digambar penuh (solid).
• Jika tanda pertidaksamaan menggunakan \(<\) atau \(>\), garis pembatas digambar putus-putus (dashed).
• Untuk sumbu X selalu gunakan nilai \(y = 0\).
• Untuk sumbu Y selalu gunakan nilai \(x = 0\).
• Titik potong dua garis dapat dicari menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
• Daerah himpunan penyelesaian adalah daerah persekutuan yang terkena arsiran dari semua pertidaksamaan sekaligus.

4. Menentukan Titik Potong Garis

A. Titik potong dengan sumbu X

Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, nilai \(y\) disubstitusikan menjadi nol \((y=0)\).

Untuk persamaan \(ax+by=c\), diperoleh:

\[ ax + b(0) = c \implies x = \frac{c}{a} \]

Titik koordinatnya:

\[ \boxed{\left(\frac{c}{a},0\right)} \]

B. Titik potong dengan sumbu Y

Untuk mencari titik potong dengan sumbu Y, nilai \(x\) disubstitusikan menjadi nol \((x=0)\).

Untuk persamaan \(ax+by=c\), diperoleh:

\[ a(0) + by = c \implies y = \frac{c}{b} \]

Titik koordinatnya:

\[ \boxed{\left(0,\frac{c}{b}\right)} \]

5. Contoh Soal

Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut dan gambarkan daerah penyelesaiannya!

\[ \begin{cases} x+2y\leq6\\ 2x+y\leq6\\ 0\leq x\leq5\\ 0\leq y\leq4 \end{cases} \]

6. Proses Penyelesaian

1

Menentukan Garis Pembatas

Ubah tanda pertidaksamaan menjadi sama dengan (=) terlebih dahulu.

• Garis 1: \(x+2y=6\)
• Garis 2: \(2x+y=6\)

2

Garis 1: \(x+2y=6\)

Titik potong sumbu X (\(y=0\)):

\[ x+2(0)=6 \implies x=6 \quad \rightarrow \quad \text{Titik } (6,0) \]

Titik potong sumbu Y (\(x=0\)):

\[ 0+2y=6 \implies y=3 \quad \rightarrow \quad \text{Titik } (0,3) \]

3

Garis 2: \(2x+y=6\)

Titik potong sumbu X (\(y=0\)):

\[ 2x+0=6 \implies x=3 \quad \rightarrow \quad \text{Titik } (3,0) \]

Titik potong sumbu Y (\(x=0\)):

\[ 2(0)+y=6 \implies y=6 \quad \rightarrow \quad \text{Titik } (0,6) \]

Tabel Rekapitulasi Titik Potong

Persamaan Garis	Potong Sumbu X \((y=0)\)	Potong Sumbu Y \((x=0)\)
\(x+2y=6\)	\((6,0)\)	\((0,3)\)
\(2x+y=6\)	\((3,0)\)	\((0,6)\)

4

Menentukan titik potong antara dua garis

Eliminasi atau substitusikan kedua persamaan:

\begin{align*} x+2y &= 6 \quad \implies \quad x = 6 - 2y \\ \end{align*}

Substitusikan ke persamaan kedua:

\begin{align*} 2(6-2y)+y &= 6 \\ 12-4y+y &= 6 \\ 12-3y &= 6 \\ 3y &= 6 \\ y &= 2 \end{align*}

Substitusikan \(y=2\) ke persamaan pertama:

\[ x + 2(2) = 6 \implies x + 4 = 6 \implies x = 2 \]

Titik perpotongan kedua garis adalah: \(\boxed{(2,2)}\)

5

Uji Daerah Penyelesaian dan Evaluasi Batas

Gunakan titik uji \((0,0)\):

• Pertidaksamaan 1: \(0+2(0)\leq6 \implies 0\leq6\) (Benar, arsir ke arah origin)
• Pertidaksamaan 2: \(2(0)+0\leq6 \implies 0\leq6\) (Benar, arsir ke arah origin)

Catatan Matematis Mengenai Batas \(0\leq x\leq5\) dan \(0\leq y\leq4\):
Daerah irisan dari kedua garis di atas berada maksimal di titik ekstrem \(x=3\) dan \(y=3\). Karena wilayah penyelesaian sudah lebih kecil dari \(5\) (untuk sumbu X) dan \(4\) (untuk sumbu Y), maka batas \(x\leq5\) dan \(y\leq4\) merupakan batas berlebih (redundan) yang otomatis sudah terpenuhi. Wilayah irisan tetap berada di kuadran I dibatasi oleh kedua garis tersebut.

7. Gambar Daerah Penyelesaian

Berikut adalah visualisasi grafik dari kedua garis. Daerah berwarna hijau adalah himpunan penyelesaian (irisan yang memenuhi semua syarat).

8. Menentukan Titik Sudut Penyelesaian

Berdasarkan grafik, daerah penyelesaian terbentuk berupa segiempat dengan empat titik sudut:

Titik Sudut	Keterangan Posisi
\((0,0)\)	Titik pusat / Origin
\((3,0)\)	Perpotongan garis \(2x+y=6\) dengan sumbu X
\((2,2)\)	Titik perpotongan antara kedua belah garis
\((0,3)\)	Perpotongan garis \(x+2y=6\) dengan sumbu Y

Himpunan Penyelesaian

Himpunan penyelesaian mencakup seluruh daerah yang dibatasi oleh poligon dengan titik sudut:

\[ \boxed{ \{(0,0),\ (3,0),\ (2,2),\ (0,3)\} } \]

9. Rumus Cepat yang Perlu Diingat

Titik Potong Sumbu X

Bentuk \(ax+by=c\):

\[ \boxed{\left(\frac{c}{a},0\right)} \]

Titik Potong Sumbu Y

Bentuk \(ax+by=c\):

\[ \boxed{\left(0,\frac{c}{b}\right)} \]

Perpotongan Dua Garis

Metode Determinan (Aturan Cramer):

\[ \boxed{ x = \frac{ce-bf}{ae-bd},\ y = \frac{af-cd}{ae-bd} } \]

© Materi Matematika SMA/SMK — Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD)

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Nama :

Kelas :

No. Absen :

Tanggal :

Petunjuk: Isilah bagian yang rumpang (titik-titik) dengan jawaban yang tepat. Langkah-langkah di bawah ini akan menuntunmu untuk menemukan daerah himpunan penyelesaian.

Soal Latihan Terbimbing:
Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari sistem pertidaksamaan berikut:

\[ \begin{cases} x + y \leq 4 \\ 2x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \]

Langkah 1: Menentukan Persamaan Garis Pembatas

Ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (\(=\)).

• Garis I : \(x +\) \(y =\)
• Garis II : \(x +\) \(y =\)

Langkah 2: Menentukan Titik Potong terhadap Sumbu X dan Y

a. Untuk Garis I (\(x + y = 4\))

\(x\)	\(y\)	\((x, y)\)
\(0\)		\(( 0, \)    \()\)
	\(0\)	\(( \)    \(, 0 )\)

b. Untuk Garis II (\(2x + y = 6\))

\(x\)	\(y\)	\((x, y)\)
\(0\)		\(( 0, \)    \()\)
	\(0\)	\(( \)    \(, 0 )\)

Langkah 3: Menentukan Titik Potong Antara Dua Garis

Gunakan metode eliminasi/substitusi pada kedua persamaan garis.

\(2x + y = 6\)
\(x + y = 4\)

---

\(( - )\)
    \(x\) \(= \)    

Substitusikan nilai \(x\) ke persamaan \(x + y = 4\):
\((\)   \() + y = 4 \implies y =\)    

Maka, titik potong kedua garis adalah (    ,    ).

Langkah 4: Melakukan Uji Titik \((0,0)\)

Substitusikan titik \((0,0)\) ke dalam pertidaksamaan asal untuk mengetahui arah arsiran.

• Garis I (\(x + y \leq 4\)):
  \(0 + 0 \leq 4 \implies 0 \leq 4\) ( Benar / Salah )* coret yang tidak perlu.
  Karena pernyataan bernilai , maka arsiran mengarah ke arah / menjauhi titik \((0,0)\).
• Garis II (\(2x + y \leq 6\)):
  \(2(0) + 0 \leq 6 \implies 0 \leq 6\) ( Benar / Salah )* coret yang tidak perlu.
  Karena pernyataan bernilai , maka arsiran mengarah ke arah / menjauhi titik \((0,0)\).
• Karena batasnya \(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\), daerah penyelesaian berada di kuadran     .

Langkah 5: Menggambar Grafik dan Daerah Penyelesaian

Gambarlah kedua garis berdasarkan titik-titik yang telah ditemukan, lalu arsirlah daerah yang memenuhi SEMUA pertidaksamaan. Beri nama titik-titik sudutnya!

(0,0)

X

Y

Langkah 6: Kesimpulan Titik Sudut

Berdasarkan gambar grafik di atas, himpunan penyelesaian dibatasi oleh 4 titik sudut, yaitu:

1. Titik Origin = (     ,     )

2. Perpotongan sumbu X = (     ,     )

3. Perpotongan sumbu Y = (     ,     )

4. Titik perpotongan garis = (     ,     )

---

Soal Latihan Mandiri

Instruksi: Kerjakan soal-soal di bawah ini secara mandiri menggunakan langkah-langkah penyelesaian seperti contoh di atas. Tuliskan proses jawaban dan gambarkan grafiknya di buku tulismu!

Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) beserta titik-titik sudutnya dari sistem pertidaksamaan berikut:

1. \( \begin{cases} 3x + 2y \leq 12 \\ x + 2y \leq 8 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \)
2. \( \begin{cases} 2x + y \leq 8 \\ x + 2y \leq 10 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \)
3. \( \begin{cases} x + y \leq 5 \\ 3x + y \leq 9 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \)
4. \( \begin{cases} 4x + 3y \leq 24 \\ x + y \leq 7 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \)