Materi Logaritma TKA Matematika 2026 SMA/SMK Lengkap + Contoh Soal

Materi Logaritma TKA Matematika 2026 SMA/SMK: Rumus, Contoh Soal, dan Pembahasan

Materi lengkap logaritma untuk persiapan TKA Matematika 2026 SMA/SMK, dilengkapi konsep dasar, sifat-sifat logaritma, rumus penting, contoh soal, latihan soal, kunci jawaban, dan pembahasan langkah demi langkah.

Logaritma merupakan salah satu konsep penting yang berkaitan dengan eksponen. Pemahaman logaritma tidak hanya diperlukan untuk melakukan perhitungan, tetapi juga untuk menyelesaikan persamaan, menentukan nilai variabel, menganalisis pertumbuhan, dan memodelkan berbagai permasalahan.

Pada TKA Matematika, kemampuan matematika tidak hanya berkaitan dengan hafalan rumus. Peserta didik perlu memahami konsep dan mampu menerapkannya untuk menyelesaikan masalah. Materi TKA Matematika SMA mencakup bilangan, aljabar, geometri dan pengukuran, data dan peluang, serta trigonometri.

Catatan:
Materi dan soal pada halaman ini merupakan materi latihan/prediksi, bukan bocoran soal TKA 2026. TKA 2026 SMA/SMK dijadwalkan dilaksanakan pada 26 Oktober sampai 8 November 2026.

Daftar Materi

1. Pengertian Logaritma
2. Hubungan Logaritma dan Eksponen
3. Syarat Logaritma
4. Sifat-Sifat Logaritma
5. Perubahan Basis
6. Persamaan Logaritma
7. Pertidaksamaan Logaritma
8. Fungsi Logaritma
9. Contoh Soal
10. Latihan Soal TKA
11. Kunci Jawaban

1. Pengertian Logaritma

Logaritma merupakan operasi kebalikan dari perpangkatan. Secara umum:

\[ a^b=c \]

dapat ditulis dalam bentuk logaritma:

\[ \log_a c=b \]

dengan syarat:

\[ a>0,\qquad a\neq1,\qquad c>0 \]

Dengan demikian:

\[ \boxed{a^b=c \iff \log_a c=b} \]

Contoh 1

Tentukan nilai: \[ \log_2 32 \]

Penyelesaian:

Cari pangkat 2 yang menghasilkan 32:

\[ 2^5=32 \]

Maka:

\[ \boxed{\log_2 32=5} \]

2. Syarat Logaritma

Dalam bentuk:

\[ \log_a b \]

harus memenuhi:

\[ a>0 \] \[ a\neq1 \] \[ b>0 \]

Jadi, tiga syarat utama adalah:

Syarat	Keterangan
\(a>0\)	Basis positif
\(a\neq1\)	Basis tidak boleh 1
\(b>0\)	Numerus harus positif

3. Sifat-Sifat Logaritma

1. Logaritma perkalian

\[ \log_a(xy) = \log_a x+\log_a y \]

2. Logaritma pembagian

\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x-\log_a y \]

3. Logaritma pangkat

\[ \log_a(x^n) = n\log_a x \]

4. Logaritma dari basis

\[ \log_a a=1 \]

5. Logaritma dari 1

\[ \log_a 1=0 \]

6. Hubungan dengan eksponen

\[ \log_a(a^x)=x \]

dan

\[ a^{\log_a x}=x \]

4. Rumus Perubahan Basis

Jika basis logaritma sulit dihitung, gunakan rumus perubahan basis:

\[ \boxed{ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} } \]

Khusus menggunakan log basis 10:

\[ \boxed{ \log_a b = \frac{\log b}{\log a} } \]

Contoh:

\[ \log_2 8 = \frac{\log 8}{\log 2} = 3 \]

5. Persamaan Logaritma

Jika:

\[ \log_a f(x)=\log_a g(x) \]

dengan basis memenuhi syarat, maka:

\[ f(x)=g(x) \]

Tetapi jangan lupa memeriksa domain syarat numerus:

\[ f(x)>0 \]

dan

\[ g(x)>0 \]

6. Contoh Soal dan Pembahasan

Mudah

Contoh Soal 1

Tentukan nilai: \[\log_3 81\]

Diketahui:

\[3^x=81\]

Ditanya:

\[x=?\]

Penyelesaian:

Karena:

\[81=3^4\]

maka:

\[3^x=3^4\]

Sehingga:

\[x=4\]

Jadi:

\[\boxed{4}\]

Sedang

Contoh Soal 2

Tentukan nilai: \[\log_2 16+\log_2 8\]

Diketahui:

\[\log_2 16+\log_2 8\]

Ditanya:

Nilai logaritma.

Penyelesaian:

Gunakan sifat:

\[\log_a x+\log_a y = \log_a(xy)\]

Maka:

\[\log_2(16\times8) = \log_2 128\]

Karena:

\[128=2^7\]

maka:

\[\boxed{7}\]

7. Latihan Soal Logaritma TKA Matematika 2026

Kerjakan soal berikut sebelum membuka pembahasan. Tingkat kesulitan dibuat bertahap dari mudah sampai HOTS.

Mudah

Soal 1

Nilai dari: \[\log_2 64\] adalah ....

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

Kunci: C

Penyelesaian:

\[64=2^6\]

Maka:

\[\log_2 64=6\]

Jadi:

\[\boxed{6}\]

Mudah

Soal 2

Nilai: \[\log_3 27+\log_3 9\] adalah ....

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

Kunci: B

Penyelesaian:

\[27=3^3\]

sehingga:

\[\log_3 27=3\]

dan:

\[9=3^2\]

sehingga:

\[\log_3 9=2\]

Maka:

\[3+2=5\]

Sedang

Soal 3

Jika: \[\log_2(x-1)=3\] maka nilai \(x\) adalah ....

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11

Kunci: C

Penyelesaian:

Ubah ke bentuk eksponen:

\[x-1=2^3\] \[x-1=8\] \[x=9\]

Jadi:

\[\boxed{9}\]

Sedang

Soal 4

Nilai dari: \[\log_5 125-\log_5 5\] adalah ....

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Kunci: B

Penyelesaian:

\[125=5^3\]

maka:

\[\log_5 125=3\]

dan:

\[\log_5 5=1\]

Sehingga:

\[3-1=2\]

Jadi:

\[\boxed{2}\]

Sedang

Soal 5

Jika: \[\log_3 x+\log_3(x-2)=1,\] nilai \(x\) yang memenuhi adalah ....

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

Kunci: B

Penyelesaian:

Gabungkan logaritma:

\[\log_3[x(x-2)]=1\]

Ubah menjadi eksponen:

\[x(x-2)=3^1\] \[x^2-2x=3\] \[x^2-2x-3=0\]

Faktorkan persamaannya:

\[(x-3)(x+1)=0\]

Maka akar-akarnya adalah \(x = 3\) atau \(x = -1\).

Karena syarat basis dan numerus adalah \(x > 0\) dan \(x - 2 > 0\) (berarti \(x > 2\)), maka yang memenuhi hanyalah:

\[\boxed{x=3}\]

Sulit

Soal 6

Jika: \[\log_2(x)+\log_2(x-2)=3,\] nilai \(x\) adalah ....

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

Kunci: C

Penyelesaian:

\[\log_2[x(x-2)]=3\] \[x(x-2)=2^3\] \[x^2-2x-8=0\]

Faktorkan:

\[(x-4)(x+2)=0\]

Maka \(x=4\) atau \(x=-2\).

Syarat logaritma mengharuskan numerus positif (\(x > 2\)). Maka:

\[\boxed{x=4}\]

Sulit

Soal 7

Jika: \[\log_2(x+2)-\log_2 x=1,\] maka nilai \(x\) adalah ....

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Kunci: B

Penyelesaian:

Gabungkan pembagian:

\[\log_2\left(\frac{x+2}{x}\right)=1\]

Ubah ke eksponen:

\[\frac{x+2}{x}=2^1\] \[x+2=2x\] \[x=2\]

Syarat numerus positif (\(x>0\)). Jadi:

\[\boxed{2}\]

Sulit

Soal 8

Diketahui: \[\log_2 3=a\] dan \[\log_2 5=b.\] Bentuk \[\log_2 45\] dinyatakan dalam \(a\) dan \(b\) adalah ....

A. \(a+b\) B. \(2a+b\) C. \(a+2b\) D. \(3a+b\) E. \(2a+2b\)

Kunci: B

Penyelesaian:

Karena \(45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5\), maka:

\[\log_2 45 = \log_2(3^2\times5)\] \[= \log_2(3^2) + \log_2 5\] \[= 2\log_2 3 + \log_2 5\]

Substitusi nilai yang diketahui (\(\log_2 3=a\) dan \(\log_2 5=b\)):

\[\boxed{2a+b}\]

HOTS

Soal 9

Jika: \[\log_2(x-1)>3,\] maka himpunan penyelesaiannya adalah ....

A. \(x>7\) B. \(x>8\) C. \(x>9\) D. \(x<8\) E. \(x<9\)

Kunci: C

Penyelesaian:

Karena basis \(2>1\), maka fungsi logaritma bernilai naik (tanda pertidaksamaan tetap).

\[x-1 > 2^3\] \[x-1 > 8\] \[x > 9\]

Syarat numerus \(x-1>0 \implies x>1\). Karena \(x>9\) sudah mencakup \(x>1\), maka HP-nya adalah:

\[\boxed{x>9}\]

HOTS

Soal 10

Diketahui: \[\log_3(x+1)=\log_9(2x+5).\] Nilai \(x\) yang memenuhi adalah ....

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Kunci: B

Penyelesaian:

Karena \(9=3^2\), maka kita bisa samakan basisnya:

\[\log_9(2x+5) = \frac{1}{2}\log_3(2x+5)\]

Sehingga:

\[\log_3(x+1) = \frac{1}{2}\log_3(2x+5)\]

Kalikan kedua ruas dengan 2:

\[2\log_3(x+1) = \log_3(2x+5)\]

Gunakan sifat pangkat pada logaritma:

\[\log_3[(x+1)^2] = \log_3(2x+5)\]

Karena basis sudah sama, samakan numerusnya:

\[(x+1)^2 = 2x+5\] \[x^2+2x+1 = 2x+5\] \[x^2 = 4\] \[x = \pm 2\]

Syarat logaritma: numerus harus positif (\(x+1>0\) dan \(2x+5>0\)). Jika \(x = -2\), maka \(x+1 = -1\) (tidak memenuhi). Maka, nilai \(x\) yang tepat adalah:

\[\boxed{x=2}\]

HOTS

Soal 11

Nilai \(x\) yang memenuhi: \[\log_2(x^2-5)=2\] adalah ....

A. \(x=3\) B. \(x=-3\) C. \(x=\pm3\) D. \(x=\pm4\) E. \(x=4\)

Kunci: C

Penyelesaian:

Ubah ke bentuk eksponen:

\[x^2-5=2^2\] \[x^2-5=4\] \[x^2=9\] \[x=\pm 3\]

Karena pangkat 2 (yakni \((\pm3)^2 - 5 = 4 > 0\)), kedua nilai tersebut sah. Sehingga jawabannya adalah:

\[\boxed{x=\pm3}\]

HOTS

Soal 12

Diketahui: \[\log_a 16=4.\] Nilai \(a\) adalah ....

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. 32

Kunci: A

Penyelesaian:

\[\log_a 16=4\]

Berdasarkan konsep logaritma:

\[a^4=16\]

Karena \(16=2^4\) dan basis logaritma harus bernilai positif, maka:

\[a=2\]

Jadi:

\[\boxed{2}\]

HOTS

Soal 13

Jika: \[\log_2 x=a,\] maka nilai \[\log_4 x\] dalam \(a\) adalah ....

A. \(a\) B. \(2a\) C. \(\frac{a}{2}\) D. \(a^2\) E. \(2^a\)

Kunci: C

Penyelesaian:

Gunakan rumus perubahan basis:

\[\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4}\]

Karena \(\log_2 x=a\) dan \(\log_2 4=2\), maka:

\[\log_4 x = \frac{a}{2}\]

Jadi:

\[\boxed{\frac{a}{2}}\]

Sangat Sulit

Soal 14

Diketahui: \[\log_2(x)+\log_4(x)=6.\] Nilai \(x\) adalah ....

A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 E. 256

Kunci: A

Penyelesaian:

Kita tahu dari sifat logaritma sebelumnya (atau soal nomor 13) bahwa \(\log_4 x = \frac{1}{2}\log_2 x\). Substitusi bentuk tersebut ke persamaan awal:

\[\log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 x = 6\] \[\frac{3}{2}\log_2 x = 6\]

Kalikan dengan 2/3:

\[\log_2 x = 6 \times \frac{2}{3} = 4\]

Kembalikan ke bentuk eksponen:

\[x = 2^4 = 16\]

Jadi:

\[\boxed{16}\]

Sangat Sulit – HOTS

Soal 15

Sebuah populasi mula-mula berjumlah 500. Populasi tersebut meningkat sebesar \(20\%\) setiap periode. Model populasi setelah \(n\) periode adalah: \[P_n=500(1,2)^n.\] Jika populasi telah mencapai lebih dari 1.000, nilai bulat \(n\) terkecil adalah ....

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

Kunci: B

Penyelesaian:

Model matematika pertumbuhan populasi menargetkan \(P_n > 1000\):

\[500(1,2)^n > 1000\]

Bagi kedua ruas dengan 500:

\[(1,2)^n > 2\]

Karena kita mencari aproksimasi nilai \(n\), ambil logaritma pada kedua ruas:

\[\log(1,2)^n > \log 2\] \[n \log(1,2) > \log 2\] \[n > \frac{\log 2}{\log 1,2}\]

Dengan estimasi \(\log 2 \approx 0,301\) dan \(\log 1,2 \approx 0,079\):

\[n > \frac{0,301}{0,079} \approx 3,81\]

Karena \(n\) harus merupakan bilangan bulat periode yang utuh, maka batas bulat minimal terdekat yang lebih dari \(3,81\) adalah \(4\).

\[\boxed{n=4}\]

8. Kunci Jawaban

No.	Kunci	Tingkat
1	C	Mudah
2	B	Mudah
3	C	Sedang
4	B	Sedang
5	B	Sedang
6	C	Sulit
7	B	Sulit
8	B	Sulit
9	C	HOTS
10	B	HOTS
11	C	HOTS
12	A	HOTS
13	C	HOTS
14	A	Sangat Sulit
15	B	Sangat Sulit - HOTS

9. Tips Mengerjakan Soal Logaritma TKA

1. Kuasai hubungan eksponen secara kuat: \[a^b=c \iff \log_a c=b\]
2. Hafalkan sifat perkalian, pembagian, dan pangkat (sifat manipulasi dasar).
3. Selalu periksa syarat numerus logaritma harus positif (terutama pada persamaan kuadrat dan pertidaksamaan).
4. Untuk basis berbeda, selalu gunakan trik rumus perubahan basis.
5. Pada pertidaksamaan, perhatikan apakah basis \(a>1\) (tanda tetap) atau \(0
6. Untuk soal kontekstual atau cerita, biasakan menerjemahkan info ke dalam model persamaan matematikanya dahulu sebelum berhitung.

10. FAQ Logaritma TKA Matematika 2026

Apa yang dimaksud dengan logaritma?

Logaritma adalah operasi kebalikan (invers) dari perpangkatan eksponen. Jika \(a^b=c\), maka bentuk logaritmanya adalah \(\log_a c=b\).

Apa saja rumus logaritma yang wajib dikuasai?

Sifat logaritma terpenting meliputi perkalian, pembagian, pangkat (menurunkan pangkat menjadi pengali), perubahan basis, serta pembatalan dengan bilangan eksponen.

Apakah materi logaritma termasuk Matematika Tingkat Lanjut?

Ya, dalam kurikulum terbaru untuk TKA, fungsi eksponensial beserta logaritma tingkat mahir umumnya masuk ke dalam ujian matematika tingkat lanjut (karena butuh analisis aljabar yang cukup mendalam).

Kesimpulan

Logaritma merupakan materi krusial dan saling menopang satu sama lain dengan materi eksponen. Untuk menghadapi TKA Matematika 2026, siswa tidak cukup hanya sekadar menghafal rumus. Pemahaman konsep, kemampuan mengubah bentuk, analisa syarat, dan kemampuan memodelkan persoalan kontekstual merupakan keterampilan mutlak.

Manfaatkan panduan latihan soal ini secara konsisten dan bertahap dari pemahaman mendasar hingga simulasi soal HOTS. Selamat belajar!