Materi Program Linier TKA SMA/SMK

1. Sistem Persamaan Linear Multivariabel (3 Variabel)

Bentuk Umum:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}$$

Metode Penyelesaian:

1. Substitusi:

   • Nyatakan salah satu variabel (misal $z$) dalam $x$ dan $y$ dari satu persamaan, lalu substitusi ke persamaan lain.

2. Eliminasi:

   • Gabungkan dua persamaan untuk menghilangkan satu variabel, lalu selesaikan sistem 2 variabel.

3. Matriks (Aturan Cramer/Invers):

   • Ubah ke bentuk matriks $AX=B$, lalu hitung:

     $$X=A^{-1}B\text{(jika }\det (A)\mathrm{\ne }0\text{)}$$

   • Aturan Cramer:

     $$x=\frac{\det (A_x)}{\det (A)},y=\frac{\det (A_y)}{\det (A)},z=\frac{\det (A_z)}{\det (A)}$$

     (Matriks $A_x,A_y,A_z$ dibentuk dengan mengganti kolom ke-1, 2, 3 dengan vektor $B$).

Kemungkinan Solusi:

• Solusi Tunggal: Jika $\det (A)\mathrm{\ne }0$.

• Tak Hingga/No Solusi: Jika $\det (A)=0$ (sistem dependen/inkonsisten).

---

2. Sistem Pertidaksamaan Linear Multivariabel (3 Variabel)

Bentuk Umum:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z\le d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z\ge d_2\\ x,y,z\ge 0\text{(kendala non-negatif)}\end{array}$$

Penyelesaian:

• Grafik (untuk 2 variabel):

  • Gambar garis batas, tentukan daerah feasible dengan uji titik.

• Analitik (3 variabel):

  • Cari titik potong bidang (jika ada) dan evaluasi di kendala.

  • Daerah Feasible: Himpunan titik $(x,y,z)$ yang memenuhi semua kendala.

Contoh (2 Variabel):

$$\{\begin{array}{l}x+y\le 4\\ 2x-y\ge 1\\ x,y\ge 0\end{array}$$

• Titik potong: $(1,3)$, $(0.5,0)$, $(4,0)$.

• Daerah feasible: Area di antara titik-titik tersebut.

---

3. Program Linear (Maksimal 3 Variabel)

Bentuk Standar:

$$\text{Maks/Min }z=px+qy+rz$$

dengan kendala:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z\le d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z\le d_2\\ x,y,z\ge 0\end{array}$$

Metode Penyelesaian:

1. Grafik (2 Variabel):

   • Tentukan titik sudut daerah feasible, evaluasi $z$.

   • Contoh:
     Maksimalkan $z=3x+2y$ dengan kendala:

     $$x+y\le 4,2x+y\le 5,x,y\ge 0$$

     • Titik ekstrem: $(0,0)$, $(0,4)$, $(2.5,0)$, $(1,3)$.

     • Solusi optimal: $z=9$ di $(1,3)$.

2. Simpleks (3 Variabel):

   • Konversi ke bentuk standar (tambah variabel slack).

   • Buat tabel simpleks, iterasi hingga solusi optimal.

Konsep Penting:

• Variabel Slack/Surplus: Untuk mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan.

• Solusi Basis: Solusi di titik sudut daerah feasible.

• Dualitas: Masalah primal (maksimasi) ↔ dual (minimasi).

---

Contoh Soal 3 Variabel

Sistem Persamaan:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x-y+3z=9\\ x+2y-z=0\end{array}$$

Penyelesaian:

• Gunakan eliminasi:

  1. Dari Pers. (1) dan (3), eliminasi $z$ → dapatkan $2x+3y=6$.

  2. Dari Pers. (1) dan (2), eliminasi $z$ → dapatkan $x-2y=-9$.

  3. Selesaikan sistem 2 variabel, diperoleh $x=1$, $y=2$, $z=3$.

Program Linear 3 Variabel:
Maksimalkan $z=2x+y+3z$ dengan:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z\le 10\\ 2x+z\le 5\\ y+2z\le 8\\ x,y,z\ge 0\end{array}$$

• Langkah: Gunakan metode simpleks atau evaluasi titik sudut (jika feasible).

---

Ringkasan Perbedaan

Aspek	Persamaan Linear	Pertidaksamaan Linear	Program Linear
Variabel	$x,y,z$	$x,y,z$	$x,y,z$ (maks 3)
Solusi	Titik/garis/bidang	Daerah feasible 3D	Titik optimal di daerah feasible
Metode	Substitusi, matriks	Grafik (2D), analitik (3D)	Simpleks (3D), grafik (2D)

Semoga membantu! 😊