Cara Menggunakan Eliminasi pada Persamaan Linier 2 dan 3 Varibel

Langkah-Langkah Metode Eliminasi 2 Variabel

1. Susun Persamaan
   Pastikan kedua persamaan tertulis dalam bentuk standar:

   $$ax+by=c$$

   Contoh:

   $$\{\begin{array}{l}2x+3y=12\text{(Persamaan 1)}\\ 4x-y=6\text{(Persamaan 2)}\end{array}$$

2. Samakan Koefisien Salah Satu Variabel

   • Pilih variabel yang akan dieliminasi (misal $x$ atau $y$).

   • Kalikan persamaan dengan bilangan agar koefisiennya sama.

   Contoh: Eliminasi $y$:

   • Koefisien $y$ di Pers. 1 = 3, di Pers. 2 = $-1$.

   • Kalikan Pers. 2 dengan 3:

     $$3\times (4x-y=6)⟹12x-3y=18\text{(Persamaan 2a)}$$

3. Jumlahkan atau Kurangkan Persamaan

   • Jika koefisien sama tanda, kurangkan persamaan.

   • Jika koefisien berlawanan tanda, jumlahkan.

   Contoh:

   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2x+3y}& {\displaystyle =12\text{(Pers. 1)}}\\ {\displaystyle 12x-3y}& {\displaystyle =18\text{(Pers. 2a)}+}\\ {\displaystyle 14x}& {\displaystyle =30}\end{array}$$

   • Variabel $y$ tereliminasi.

4. Selesaikan untuk Variabel Tersisa

   $$x=\frac{30}{14}=\frac{15}{7}$$

5. Substitusi Nilai ke Salah Satu Persamaan
   Substitusi $x=\frac{15}{7}$ ke Pers. 2:

   $$4\left(\frac{15}{7}\right)-y=6⟹\frac{60}{7}-y=6$$$$y=\frac{60}{7}-\frac{42}{7}=\frac{18}{7}$$

Solusi:

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{18}{\mathrm{<br>}}$$ 3 Variabel

Langkah-Langkah Metode Eliminasi 3 Variabel

Contoh Soal:

Selesaikan sistem persamaan:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\text{(1)}\\ 2x-y+3z=9\text{(2)}\\ x+2y-z=0\text{(3)}\end{array}$$

---

Tahap 1: Eliminasi Satu Variabel

Target: Hilangkan variabel yang sama dari dua pasang persamaan.

1. Eliminasi $z$ dari Persamaan (1) dan (2):

   • Persamaan (1): $x+y+z=6$

   • Persamaan (2): $2x-y+3z=9$

   • Kalikan Persamaan (1) dengan 3:

     $$3x+3y+3z=18\text{(1a)}$$

   • Kurangi Persamaan (2) dari (1a):

     $$\begin{array}{rl}{\displaystyle (3x+3y+3z)}& {\displaystyle =18}\\ {\displaystyle (2x-y+3z)}& {\displaystyle =9-}\\ {\displaystyle x+4y}& {\displaystyle =9\text{(4)}}\end{array}$$

2. Eliminasi $z$ dari Persamaan (1) dan (3):

   • Persamaan (1): $x+y+z=6$

   • Persamaan (3): $x+2y-z=0$

   • Jumlahkan kedua persamaan:

     $$\begin{array}{rl}{\displaystyle x+y+z}& {\displaystyle =6}\\ {\displaystyle x+2y-z}& {\displaystyle =0+}\\ {\displaystyle 2x+3y}& {\displaystyle =6\text{(5)}}\end{array}$$

---

Tahap 2: Selesaikan Sistem 2 Variabel

Sekarang kita punya sistem baru:

$$\{\begin{array}{l}x+4y=9\text{(4)}\\ 2x+3y=6\text{(5)}\end{array}$$

1. Eliminasi $x$:

   • Kalikan Persamaan (4) dengan 2:

     $$2x+8y=18\text{(4a)}$$

   • Kurangi Persamaan (5) dari (4a):

     $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2x+8y}& {\displaystyle =18}\\ {\displaystyle 2x+3y}& {\displaystyle =6-}\\ {\displaystyle 5y}& {\displaystyle =12⟹y=\frac{12}{5}}\end{array}$$

2. Substitusi $y$ ke Persamaan (4):

   $$x+4\left(\frac{12}{5}\right)=9⟹x=9-\frac{48}{5}=-\frac{3}{5}$$

---

Tahap 3: Substitusi Nilai $x$ dan $y$ ke Persamaan Awal

Gunakan Persamaan (1) untuk mencari $z$:

$$-\frac{3}{5}+\frac{12}{5}+z=6⟹z=6-\frac{9}{5}=\frac{21}{5}$$

---

Solusi Akhir

$$x=-\frac{3}{5},y=\frac{12}{5},z=\frac{21}{5}$$

---