Soal dan Pembahasan Lingkaran Panjang Busur dan Luas Juring

 1. Jika jari-jari sebuah lingkaran adalah 7 cm dan sudut juringnya adalah 60°, maka panjang busur

juring tersebut adalah : a) 7π cm         b) 14 cm c) 7 cm             d) 7π/3 cm

Penyelesain :

$$\text{Panjang busur}=\frac{\theta }{360^{\circ }}\times 2\pi r$$

Diketahui:

• Jari-jari lingkaran ($r$) = 7 cm

• Sudut juring ($\theta$) = 60°

Langkah penyelesaian:

1. Hitung bagian sudut juring terhadap lingkaran penuh:

   $$\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{6}$$

2. Hitung keliling lingkaran:

   $$2\pi r=2\pi \times 7=14\pi \text{ cm}$$

3. Hitung panjang busur:

   $$\text{Panjang busur}=\frac{1}{6}\times 14\pi =\frac{14\pi }{6}=\frac{7\pi }{3}\text{ cm}$$

Jawaban yang benar adalah:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{7\pi }{3}\text{ cm}}}$$

Pilihan yang sesuai:
d) $\frac{7\pi }{3}$ cm

2. Jika luas juring lingkaran adalah 25π cm2 dan sudut juringnya 90°, maka jari-jari lingkaran tersebut adalah:

a) 20 cm        b) 5 cm

c) 15 cm        d) 10 cm

Penyelesaian :

Untuk mencari jari-jari lingkaran berdasarkan luas juring dan sudut pusatnya, kita dapat menggunakan rumus berikut:

Rumus Luas Juring Lingkaran:

$$\text{Luas Juring}=\frac{\theta }{{360}^{\circ }}\times \pi r^2$$

di mana:

• $\theta$ adalah sudut pusat (dalam derajat),

• $r$ adalah jari-jari lingkaran.

Diketahui:

• Luas Juring = $25\pi {\text{ cm}}^2$

• Sudut Juring ($\theta$) = ${90}^{\circ }$

Langkah Penyelesaian:

1. Substitusi nilai yang diketahui ke dalam rumus:

   $$25\pi =\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\times \pi r^2$$

2. Sederhanakan persamaan:

   $$25\pi =\frac{1}{4}\times \pi r^2$$$$25\pi =\frac{\pi r^2}{4}$$

3. Hilangkan $\pi$ dari kedua sisi:

   $$25=\frac{r^2}{4}$$

4. Kalikan kedua sisi dengan 4 untuk menyelesaikan $r^2$:

   $$r^2=100$$

5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi untuk mendapatkan $r$:

   $$r=\sqrt{100}=10\text{ cm}$$

Jawaban: 10 cm

Jika panjang busur lingkaran adalah 15π cm dan jari-jari lingkaran 10 cm, maka sudut juringnya adalah: a) 120°

b) 90° c) 180°

d) 270° e) 360°

Penyelesaian :

Untuk mencari sudut juring ($\theta$) berdasarkan panjang busur dan jari-jari lingkaran, kita dapat menggunakan rumus berikut:

Rumus Panjang Busur Lingkaran:

$$\text{Panjang Busur}=\frac{\theta }{{360}^{\circ }}\times 2\pi r$$

di mana:

• $\theta$ adalah sudut pusat (dalam derajat),

• $r$ adalah jari-jari lingkaran.

Diketahui:

• Panjang Busur = $15\pi \text{ cm}$

• Jari-jari ($r$) = $10\text{ cm}$

Langkah Penyelesaian:

1. Substitusi nilai yang diketahui ke dalam rumus:

   $$15\pi =\frac{\theta }{{360}^{\circ }}\times 2\pi \times 10$$

2. Sederhanakan persamaan:

   $$15\pi =\frac{\theta }{{360}^{\circ }}\times 20\pi$$

3. Bagi kedua sisi dengan $\pi$:

   $$15=\frac{\theta }{{360}^{\circ }}\times 20$$

4. Sederhanakan persamaan untuk $\theta$:

   $$\frac{\theta }{{360}^{\circ }}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$$

5. Kalikan kedua sisi dengan ${360}^{\circ }$ untuk mendapatkan $\theta$:

   $$\theta =\frac{3}{4}\times {360}^{\circ }={270}^{\circ }$$

Jawaban: 

270∘​

3. Jika panjang busur juring lingkaran adalah 5π cm dan jari-jari lingkaran adalah 10 cm, maka sudut juring dalam derajat adalah : a) 90°

b) 45° c) 120°

d) 60°

Penyelesain :

Rumus Panjang Busur Lingkaran:

$$\text{Panjang Busur}=\frac{\theta }{{360}^{\circ }}\times 2\pi r$$

di mana:

• $\theta$ adalah sudut pusat (dalam derajat),

• $r$ adalah jari-jari lingkaran.

Diketahui:

• Panjang Busur = $5\pi \text{ cm}$

• Jari-jari ($r$) = $10\text{ cm}$

Langkah Penyelesaian:

1. Substitusi nilai yang diketahui ke dalam rumus:

   $$\mathrm{<b>5</b>}\mathrm{<b>\pi </b>}<b>=</b>\frac{\mathrm{<b>\theta </b>}}{{\mathrm{<b>360</b>}}^{<b>\circ </b>}}<b>\times </b>\mathrm{<b>2</b>}\mathrm{<b>\pi </b>}<b>\times </b>\mathrm{<b>10</b>}$$

2. Sederhanakan persamaan:

   $$\mathrm{<b>5</b>}\mathrm{<b>\pi </b>}<b>=</b>\frac{\mathrm{<b>\theta </b>}}{{\mathrm{<b>360</b>}}^{<b>\circ </b>}}<b>\times </b>\mathrm{<b>20</b>}\mathrm{<b>\pi </b>}$$

3. Bagi kedua sisi dengan $\pi$:

   $$\mathrm{<b>5</b>}<b>=</b>\frac{\mathrm{<b>\theta </b>}}{{\mathrm{<b>360</b>}}^{<b>\circ </b>}}<b>\times </b>\mathrm{<b>20</b>}$$

4. Sederhanakan persamaan untuk $\theta$:

   $$\frac{\mathrm{<b>\theta </b>}}{{\mathrm{<b>360</b>}}^{<b>\circ </b>}}<b>=</b>\frac{\mathrm{<b>5</b>}}{\mathrm{<b>20</b>}}<b>=</b>\frac{\mathrm{<b>1</b>}}{\mathrm{<b>4</b>}}$$

5. Kalikan kedua sisi dengan ${360}^{\circ }$ untuk mendapatkan $\theta$:

   $$\mathrm{<b>\theta </b>}<b>=</b>\frac{\mathrm{<b>1</b>}}{\mathrm{<b>4</b>}}<b>\times </b>{\mathrm{<b>360</b>}}^{<b>\circ </b>}<b>=</b>{\mathrm{<b>90</b>}}^{<b>\circ </b>}$$

Jawaban: 90

4. Perhatikan gambar berikut!

Luas Juring MON adalah ..... 

a) 231 

b) 616

c) 77 

d) 154

Untuk menghitung luas juring MON, kita dapat menggunakan rumus luas juring lingkaran:

Rumus Luas Juring:

$$\text{Luas Juring}=\frac{\theta }{{360}^{\circ }}\times \pi r^2$$

di mana:

• $\theta$ adalah sudut pusat (dalam derajat),

• $r$ adalah jari-jari lingkaran.

Diketahui:

• Sudut MON ($\theta$) = ${40}^{\circ }$

• Jari-jari ($MO=r$) = $21\text{ cm}$

Langkah Penyelesaian:

1. Substitusi nilai yang diketahui ke dalam rumus:

   $$\text{Luas Juring MON}=\frac{{40}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\times \pi \times (21{)}^2$$

2. Sederhanakan pecahan sudut:

   $$\frac{{40}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{9}$$

3. Hitung kuadrat jari-jari:

   $$(21{)}^2=441$$

4. Kalikan semua komponen:

   $$\text{Luas Juring MON}=\frac{1}{9}\times \pi \times 441=49\pi {\text{ cm}}^2$$

5. Hitung nilai numerik (gunakan $\pi \approx \frac{22}{7}$):

   $$49\pi =49\times \frac{22}{7}=49\times 3.142857\approx 154{\text{ cm}}^2$$

   (Perhitungan eksak: $49\times \frac{22}{7}=7\times 22=154$)

Jawaban: 154

5. Perhatikan gambar berikut!

Jika panjang busur KN = 64 cm, maka panjang busur LM adalah ....

a) 48 cm 

b) 24 cm

c) 12 cm 

d) 96 cm

Penyelesain :

Diketahui:

• Sudut KON = 60°

• Sudut LOM = 45°

• Panjang busur KN = 64 cm

Rumus Panjang Busur:

$$\text{Panjang Busur}=\frac{\theta }{{360}^{\circ }}\times 2\pi r$$

Dimana:

• $\theta$ = sudut pusat (derajat)

• $r$ = jari-jari lingkaran

Langkah Penyelesaian:

1. Hitung Jari-jari Lingkaran (r) dari Busur KN:

   $$64=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\times 2\pi r$$

   Sederhanakan:

   $$64=\frac{1}{6}\times 2\pi r⟹64=\frac{2\pi r}{6}⟹64=\frac{\pi r}{3}$$$$\pi r=192⟹r=\frac{192}{\pi }$$

2. Hitung Panjang Busur LM dengan Sudut 45°:

   $$\text{Panjang Busur LM}=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\times 2\pi r$$

   Sederhanakan:

   $$\text{Panjang Busur LM}=\frac{1}{8}\times 2\pi r=\frac{\pi r}{4}$$

   Substitusi $r=\frac{192}{\pi }$:

   $$\text{Panjang Busur LM}=\frac{\pi \times \frac{192}{\pi }}{4}=\frac{192}{4}=48\text{ cm}$$

Jawaban: 48 cm

$$\boxed{{\displaystyle 154}}$$

$$\boxed{{\displaystyle {90}^{\circ }}}$$

$$\boxed{{\displaystyle {270}^{\circ }}}$$

$$\boxed{{\displaystyle \text{ cm}}}$$