Contoh Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmatika

Contoh 1: Mencari Suku ke-n

Soal:
Diketahui barisan aritmatika: 5, 9, 13, 17, ...
Tentukan suku ke-10 ( $U_{10}$ )!

Pembahasan:

Diketahui:
- Suku pertama ( $a$ ) = 5
- Beda ( $b$ ) = $U_{2} - U_{1} = 9 - 5 = 4$
Ditanya:
$U_{10} = ?$
Jawab:
$U_{n} = a + (n - 1) b U_{10} = 5 + (10 - 1) \times 4 U_{10} = 5 + 36 = 41$
Jawaban: $U_{10} = 41$ .

Contoh 2: Mencari Jumlah Deret Aritmatika

Soal:
Hitunglah jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika: 6 + 10 + 14 + 18 + ...

Pembahasan:

Diketahui:
- $a = 6$
- $b = 10 - 6 = 4$
- $n = 15$
Ditanya:
$S_{15} = ?$
Jawab:
$S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) S_{15} = \frac{15}{2} (2 \times 6 + (15 - 1) \times 4) S_{15} = \frac{15}{2} (12 + 56) = \frac{15}{2} \times 68 = 15 \times 34 = 510$
Jawaban: $S_{15} = 510$ .

Contoh 3: Mencari Beda dan Suku Pertama

Soal:
Jika suku ke-5 suatu barisan aritmatika adalah 23 dan suku ke-10 adalah 48, tentukan suku pertama ( $a$ ) dan beda ( $b$ )!

Pembahasan:

Diketahui:
- $U_{5} = 23$
- $U_{10} = 48$
Ditanya:
$a$ dan $b = ?$
Jawab:
${\begin{cases} U_{5} = a + 4 b = 23 (1) \\ U_{10} = a + 9 b = 48 (2) \end{cases}$
Kurangkan persamaan (2) dan (1):
$(a + 9 b) - (a + 4 b) = 48 - 23 5 b = 25 ⟹ b = 5$
Substitusi $b = 5$ ke persamaan (1):
$a + 4 \times 5 = 23 ⟹ a = 23 - 20 = 3$
Jawaban: $a = 3$ dan $b = 5$ .

Contoh 4: Menentukan Jumlah Suku Tertentu

Soal:
Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama 8 dan beda 3. Tentukan jumlah 12 suku pertama!

Pembahasan:

Diketahui:
- $a = 8$
- $b = 3$
- $n = 12$
Ditanya:
$S_{12} = ?$
Jawab:
$S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) S_{12} = \frac{12}{2} (2 \times 8 + (12 - 1) \times 3) S_{12} = 6 (16 + 33) = 6 \times 49 = 294$
Jawaban: $S_{12} = 294$ .

Contoh 5: Mencari Suku Tengah

Soal:
Diketahui barisan aritmatika dengan $U_{2} = 11$ dan $U_{6} = 27$ . Tentukan suku tengah jika banyak suku adalah 11.

Pembahasan:

Diketahui:
- $U_{2} = a + b = 11$
- $U_{6} = a + 5 b = 27$
- Banyak suku ( $n$ ) = 11 (ganjil)
Ditanya:
Suku tengah ( $U_{t}$ ) = ?
Jawab:
1. Cari $a$ dan $b$ :
  ${\begin{cases} a + b = 11 (1) \\ a + 5 b = 27 (2) \end{cases}$
  Kurangkan (2) - (1):
  $4 b = 16 ⟹ b = 4 a = 11 - 4 = 7$
2. Suku tengah ( $U_{t}$ ) adalah suku ke- $\frac{n + 1}{2}$ :
  $U_{t} = U_{\frac{11 + 1}{2}} = U_{6} = a + 5 b = 7 + 5 \times 4 = 27$
Jawaban: Suku tengah = 27.

contoh soal kehidupan sehari-hari

Soal 1: Menabung Mingguan

Diketahui:
Setiap minggu, Rina menabung dengan selisih tetap. Minggu pertama ia menabung Rp15.000,00 dan minggu ketiga Rp25.000,00.
Ditanya:
Total tabungan Rina setelah 10 minggu.
Jawab:

$a = 15.000$ (minggu pertama)
$U_{3} = a + 2 b = 25.000$
$15.000 + 2 b = 25.000$
$2 b = 10.000$ → $b = 5.000$
$S_{10} = \frac{10}{2} [2 \times 15.000 + (10 - 1) \times 5.000]$
$= 5 \times (30.000 + 45.000) = 5 \times 75.000 = 375.000$
Jawaban: Total tabungan setelah 10 minggu adalah Rp375.000,00.

Soal 2: Panjang Tumpukan Bata

Diketahui:
Sebuah tumpukan bata disusun dengan pola aritmatika. Lapis pertama 15 bata, lapis kedua 13 bata, dan seterusnya berkurang 2 bata setiap lapis.
Ditanya:
Total bata yang digunakan sampai lapis ke-8.
Jawab:

$a = 15$ , $b = - 2$ (karena berkurang)
$S_{8} = \frac{8}{2} [2 \times 15 + (8 - 1) \times (- 2)]$
$= 4 \times (30 - 14) = 4 \times 16 = 64$
Jawaban: Total bata adalah 64 buah.

Soal 3: Biaya Service Kendaraan

Diketahui:
Biaya service kendaraan setiap bulan membentuk deret aritmatika. Pada bulan ke-3 biayanya Rp120.000,00 dan bulan ke-6 Rp210.000,00.
Ditanya:
Total biaya service selama 1 tahun (12 bulan).
Jawab:

$U_{3} = a + 2 b = 120.000$
$U_{6} = a + 5 b = 210.000$
Eliminasi:
$(a + 5 b) - (a + 2 b) = 210.000 - 120.000$
$3 b = 90.000$ → $b = 30.000$
$a = 120.000 - 2 \times 30.000 = 60.000$
$S_{12} = \frac{12}{2} [2 \times 60.000 + (12 - 1) \times 30.000]$
$= 6 \times (120.000 + 330.000) = 6 \times 450.000 = 2.700.000$
Jawaban: Total biaya selama 1 tahun adalah Rp2.700.000,00.

Soal 4: Produksi Harian

Diketahui:
Sebuah pabrik memproduksi barang setiap hari dengan peningkatan tetap. Hari pertama 50 unit, hari kelima 90 unit.
Ditanya:
Total produksi dalam 7 hari pertama.
Jawab:

$a = 50$
$U_{5} = a + 4 b = 90$
$50 + 4 b = 90$ → $b = 10$
$S_{7} = \frac{7}{2} [2 \times 50 + (7 - 1) \times 10]$
$= 3.5 \times (100 + 60) = 3.5 \times 160 = 560$
Jawaban: Total produksi 7 hari adalah 560 unit.

Soal 5: Daya Tahan Baterai

Diketahui:
Daya tahan baterai smartphone berkurang secara aritmatika. Pada penggunaan ke-1 tahan 10 jam, penggunaan ke-4 tahan 7 jam.
Ditanya:
Total waktu pakai baterai sampai penggunaan ke-10.
Jawab:

$a = 10$
$U_{4} = a + 3 b = 7$
$10 + 3 b = 7$ → $b = - 1$
$S_{10} = \frac{10}{2} [2 \times 10 + (10 - 1) \times (- 1)]$
$= 5 \times (20 - 9) = 5 \times 11 = 55$
Jawaban: Total waktu pakai adalah 55 jam.

Soal 6: Ketinggian Tangga

Diketahui:
Anak tangga suatu bangunan memiliki selisih tinggi tetap. Tangga ke-2 setinggi 30 cm, tangga ke-5 setinggi 60 cm.
Ditanya:
Total tinggi yang dicapai jika seseorang menaiki 12 anak tangga.
Jawab:

$U_{2} = a + b = 30$
$U_{5} = a + 4 b = 60$
Eliminasi:
$3 b = 30$ → $b = 10$
$a = 30 - 10 = 20$
$S_{12} = \frac{12}{2} [2 \times 20 + (12 - 1) \times 10]$
$= 6 \times (40 + 110) = 6 \times 150 = 900$ cm
Jawaban: Total tinggi adalah 9 meter.

Tips Penyelesaian Soal Kontekstual:

Identifikasi pola aritmatika (apakah penambahan/pengurangan tetap?).
Tentukan $a$ (suku pertama) dan $b$ (beda) dari data yang diberikan.
Gunakan rumus $U_{n}$ atau $S_{n}$ sesuai pertanyaan.
Perhatikan satuan (rupiah, unit, cm, dll.) dalam jawaban akhir.

Aksioma Math

Cari Blog Ini